Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
бн а я форма потери устойчивости (изгиб в плоскости симметрии), если же
Ру > Р1г то раньше наступает изгибно-крутильвая <|юрма потери
устойчивости (изгиб из плоскости симметрии, сопрово-
ждаемый закручиванием сечений). С уменьшением длины стержня отношение Рд
: Ру возрастает и вместе с этим становится все более возможным. что
расчетной окажется изгибно-крутильная форма потери устойчивости. В
качестве примера на рис. 55, а показано сечение дуралю-минового стержня,
а на рис. 55. б - графики критических сил pt и Ру в зависимости от длины
стержня I. При I 160 см расчетной оказывается изгибно-кр утильная форма
потери устойчивости.
При изгибно-крутнлыюй возмущенной форме равновесия стержня центр поворота
сечений не совпадает ни с центром тяжести, ни с центром изгиба;
координата сх центра поворота определяется формулой ах
Тонкостенные стержни
63
Общий случай поперечного сечения. В общем случае для определения
критически* значений сжимающей силы нужно исходить из полной системы
дифференциальных уравнений (47). При граничных условиях (49) критические
значения являются корнями уравнения:
Трем корням кубического уравнения (59) соответствуют три различные
иэгибно-крутильные формы равновесия; чисто нзгибная форма равновесия в
общем случае невозможна. Наименьший из корней принимается за расчетное
значение критической силы. Этот кор ев ь всегда меньше, чем Рх, Ру или
Ры.
В общем случае внецентренного сжатии ось стержня перестает быть
прямолинейной, а сечения стержня закручиваются. При этом упругое
равновесие стержня описывается системой дифференциальных уравнений
здесь ех и cs/ - координаты точки приложения сжимающей силы в системе
главных центральных осей;
Ру- Р 0 - Рау
О * Рх - Р Рах ^о.
-Рае Ра, (P'0-P)rl
(58)
которому можно придать вид
аяР* + а2Р* -t- агР -| а% - 0; р р р
У. С Ь) р'
(69)
здесь
°С ~PyP"Pjr
"1 = -(РЛ+Р^. + рЛ)Ф
"2 = (Ру + Рр + Р<р) - а1Ру ~ 4РГ "а = -'? + "? + <&
(60)
Внецеитрсино сжатые стержни
64
Устойчивость стержней
При ех = еу = 0 система дифференциальных уравнении (61) переходит в
систему дифференциальных уравнений (47), относящихся к случаю
центрального сжатия.
Случай, когда сила приложена в центре изгиба сечения. При этом ех= ах и
еу = ау и система дифференциальных уравнений /61) распа дается на три
независимых уравнения
EJ,
d?u dz*
+ Р
dru
~d?
= 0:
Ых dz4 d?2 '
+ [('I -г 2Ра + Ч>Л) р -
-^1 0-
Первые два уравнения соответствуют изглбным возмущенным формам
равновесия, а третье - чисто крутильной форме равновесия. При граничных
условиях (49) соответствующие критические значения нагрузки определяют по
формулам
яfEJx " *'av
сх ------; • и - 75 "
• + CJ*
+ 2М* +
(64)
Сечение имеет одну ось симметрии и сжимающая сила приложена в одной из
точек этой оси. Пусть ось х совмещена с осью симметрии поперечного
сечения. Тогда су = 0; ау - 0 и система дифференциальных уравнений (61)
принимает вид
л +р л о.
EJn
dz*
dz8
- P (O* - F*)
(65) .
Первое уравнение определяет чисто изгнбную "форму потери устойчивости.
которой соответствует критическая сила
Р*--}г1-- (66)
Гоккистснные стержни
Два последних уравнения системы (65) определяют изгибно-кру-тильные формы
равновесия. Соответствующие им критические силы являются корнями
уравнения
I Рх - р Р(ах - сх) ;
I Р (ах ех) Рц/р Р (гр ^ftxex) I
- С.
(67)
Эти корни определяют по формулам р,-
("l - V "{ - )•
(68)
(68)
И0=РлРсЛ-
"1=р* (Ч 1 2Ра) ¦ I
°> = r\ + 2РА - ("" - ехУ- I
Расчетным является меньшее из значений Ру и Р*.
Общий случай поперечного сечения. Выражения (50) можно рассматривать как
выражения для вариаций перемещений на любом уровне на гружен и н.
Обозначив наибольшие значения этих вариаций через и0, i'o, Фс получим
однородные соотношения
(.Ру - Р) "о - р ("и - а у) 1 - 0;
(Рх Р) I'd I Р (fl. г.) V, (i;
-P (<i" - e,J и, + P (o, - e,) i>" +
+ [PA-P('l I 2PA + 2РЛ)] = 0;
(70)
отсюда следует кубическое уравнение, определяющее критические значения
нагрузки.
"зР9 1- <hPz + o.tP Ч с0 = 0,
(71)
"о =
"1 - -ро, (Р, + Р") ГI - рхРу (п, -1- 2РА 4 2РЛ) 1 + = рУр + (Рх + Ру)
('I + 2РА + 2|у") - (221
Рх<"у-?у)2-Р,Лах-ех)г;
", = К -',)* +К-'")*-(<^+2РЛ I-2P/")-
Наименьший из корнем уравнения (71) принимают за расчетное значение
критической силы.
з Злк. 1949
"3
Устойчивость стержней
Устойчивость при поперечной нагрузке
При действии поперечной нагрузки, проходящей через центры изгиба сечений
и параллельной одной из главных осей, происходит изгиб, не сопровождаемый
закручиванием. Однако при достижении нагрузкой некоторого критического
значения aia изогнутая форма равновесия перестает быть устойчивой я
возникает новая возмущенная форма равновесия, характеризуемая
закручиванием стержня. Особенно большое практическое значение это явление
имеет в случаях поперечного изгиба узких высоких балок в плоскости
наибольшей жесткости. Случай прямоугольного и двутаврового поперечного
сечения см. стр. 66-76.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛОСКОЙ ФОРМЫ ИЗГИБА *
