Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
может быть определен по приближенной формуле
Стержни под действием следящих сжимающих сил
\
\
\
\
Следящими называют силы, направление которых меняется в зависимости от
угловых перемещений сечений, в которых приложены силы. В частности,
следящей является нагрузка на кольио в схеме 2, табл. 25.
Действие продольных сжимающих сил, направление которых совпадает с
касательной на конце стержня, показано на рис. 50. Если в этом сечении
имеется опора (рис. 50, с), то критическое значение сжимающей силы не
отли- р /
чается от значения, получаемого по формуле ' '*
Эйлера (44). Если же конец стержня свобо- t
ден (рис. 50, б), то потеря устойчивости про- (
исходит иначе. \
При достижении сжимающей силой крити- \
чсского значения прямолинейная форма рав- \
ионесия становится неустойчивой, по искривленных форм равновесия вообще
не существует и стержень приходит в состояние колебаний с неограниченно
возрастающими ампли- Рис. 50
туда ми. Для исследования этого типа потери
устойчивости метод Эйлера неприменим, и необходимо пользоваться
Динамическим методом, т. е. составлять уравнения возмущенного движения и
исследовать условия возникновения колебаний с возрастающими амплитудами.
Вследствие существенно динамического характера потери устойчивости
критическая сила оказывается зависящей от распределения масс по дойне
стержня.
Наиболее простым оказывается решение в случае, когда масса сосредоточена
в концевом сечении стержня. Обозначив через / прогиб конца стержня,
имеем, что поперечная сила инерции концевого груза будет
о)
R = -mf.
(46)
Соответственно, изгибающий момент в текущем сечении стержня М = EJv" ~ Р
{} - и> - (Рц>1 - /?)(/- г),
51
Устойчивость стержней
где v = v (г, 0 - лрогиб в текущем сечении в произвольный момент времени
t; <р| - ф/ (О - Угол поворота концевого сечения. Отсюда следует
дифференциальное уравнение
v~ + а'о = а21- (аг<р; - -Sj ) [I - г),
в котором обозначено
2 р
0 -гг-
Проинтегрировав это уравнение по координате г и подчинив решение
граничным условиям на защемленном конце, получим I / Н \
v - - ( ф/ - a?FJ) C0S az - sin аг - ^- cos uz).
Ha свободном конце стержня должно быть v=f; v' = ф/; отсюда следуют два
равенства
^ C0S al S*n - и/ cOS °^ =
(ф/ - a2?j) ^ sin а/ - cos"i) + а/ sin al - ф/ - О.
Исключив угол (pi и подставив выражение (46) для силы инерции, приходим к
основному дифференциальному уравнению задачи
'/+<0*/=0,
где обозначено
"2?7
tn (sin оI - а/ cos а/)
Условие устойчивости имеет вид
<|>2 > 0; sin ui - Ы cos а/ > 0; отсюда получают критическое значение
параметра al: al = 4,493
и критическое значение силы
Р"р = 20,2^-,
которое в данном случае примерно в 8 раз больше-критического значения
силы, сели она сохраняет неизменное направление, параллельное
первоначальному.
Результаты решения других, более сложных случаев, приведены н табл. 26.
Особые случаи прямолинейных упругих стержней___________55
№. Некоторые случаи определения критических нагрузок при действии
следящих сжимающих сил
А Сосредоточенная нагрузка [ ^ = *) ^1П -1
Характеристика массовых с войети :начение коэффициента Ц
Певесочмй стержень с соередоi ОЧеыыо II ча конце массой 20,19
То же, но концевая масса обладает конечным радиусом ннгрции it По
рис. 51. а
Масса >ч ранномерни распределена но длине стержни (инерции пращения не
учтена) 20, э
1о же, но, кроме того, на кинае имич ся сосредоточенная маесо Д1 По
рис 61. б
Б. Распределенная нагрузка j Якр~ Ч ~ji~ \
Значение коэффициент <1 '
18,%
2 1 . р и "- t 40,7
56
Устойчивость стержней
Скручиваемые стержни
Скручиваемый длинный стержень может потерять устойчивость, причем ось его
принимает форму кривой двоякой кривизны. Критическим является то значение
крутящего момента, при котором прямолинейная форма оси перестает быть
формой устойчивого равновесия.
Если кроме крутящих моментов на стержень действует также продольная сила,
то критическое значение скручивающего момента снижается (при сжатии) или
возрастает (при растяжении).
Рис. 52
Данные для определения критических значений скручивающих моментов при
различных способах закрепления концов двухоиорного скручиваемого стержня
приведены в табл. 27
Обозначения: Вх н By - кчаьные жесткости при изгибе.
С - жесткость стержня при кручении.
Тонкостенные стержни
57
27. Формулы для определения критических скручивающих моментов
g
III Действующая нагрузка k Критическое значение
Скручивающие моменты 1 ' hP ,
Шарнир нс Скручивающие моменты и сжимающая сила Р 1 и ,ЛТ1"!Г *Р / у
П*пу
То же 0,5 См. график на рне. 52, п
Скручивающие моменты 1 "."7 л \1 " = К кр /
3 X 4 га 3 О То же и сжимающая сила Р - ^У КР М + YМ* Т ***,/'
Кч>ф(])шшснг у. по 1 рафику иа рис. 52, б в зависимости от АБР (л?' -1-
VМ + 4?/')2
ТОНКОСТЕННЫЕ СТЕРЖНИ Общие сведения *
Для тонкостенных стержней с открытым профилем сечения характерна
относительно небольшая жесткость при кручении. Вследствие этого при
сжатии (центральном или внецеитренном), а также при изгибе таких стержней
