Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
1-1
Поскольку условия совместной работы панели с подкрепляющей конструкцией
очень сложны, условие для функции усилий в срединной поверхности можно
формулировать "и среднем", требуя, чтобы осреднен-ные усилия на кромках
Л'Л, Ну, НХу были пропорциональны осреднен-пым смещениям Л*. Д у и &лу:
Nx = СлАх" Ну = СуНу\ NXy - - Сху&ху- (58)
504
Теория аэрогидроупругости
Функцию усилий ищут в виде двух слагаемых, одно из г.оторых является
однородной квадратической функцией координат, а второе --соответствующим
образом выбираемым частным решением уравнения совместности. Коэффициенты
квадратической функции определяю г, исходя из требования удовлетворения
осредиенных условий (68). После нахождения функции усилий требуем, чтобы
первое уравнение, коротко записанное в виде Р (at, Ф) - 0, после
подстановки р него ряда (67) и выражения для функции усилий
удовлетворилось в смысле метода Галер кина а b
J \ Р (ш, Ф) w] {к, у) tlx fly - 0 (/ - 1,2,..., т) (69)
о о
Если в качестве координатных функций взять формы малых собственных
колебаний панели с собственными частотами Й,-, то систем(r) (69) примет вид
im +f +DVi + v, fc м) -0 у -1 ¦2 т> |7°)
Другим методом сведения задачи к системе типа (70) янляегся
непосредственное применение метода Галеркина не только к уравнению
движения, но и к уравнению совместности. Этот метод удобен, например,
когда для функции Ф поставлены следующие граничные условия
а2Ф
ф - fog- ~ (r) при х - х ~ а ' а2Ф
Ф ; -щр- ~ 0 при у О, у=Ь.
.71)
В случае двучленного приближении для npoi иба (67) сиегема (70) может
быть записана в виде
d2tp, dtp. 0
+ 8 ~faT + Й/Ф,- + "лФх + й/2Ф2 + */1^1 +
+ bj2Wl + Ь,зФ2 + с.пФ? + срЯ\ Ч>2 + с/эФ1Ф2 + с!$2 + dj = 0
0 = 1. 2); (72)
здесь введены безразмерные величины _ fi
h
н, кроме того, предположено, что в - О. Значения коэффициентов уравнения
(72) для плоской изотропной панели можно найти в работе [16] в случае
применения поршневой теории, а для случая применения линеа-
Нелинейные задачи панельного флаттера
505
рилфоканкой аэродинамической теории - в работе (5151. Для пластинок,
имеющих защемленные стороны, значения коэффициентов си схемы (72)
приведены в работах [40, 41 ]. Цилиндрическая панель, опер тая на
прямоугольный в плане контур, рассмотрена в работах (БЗ, 55) Панели,
бесконечные по размаху, рассмотрены в работах [8, 66]. Коэффициенты
системы (72) для ортотропных и трехслонных пластин можно найти в работах
[1, 2, 3].
Температурное выпучивание ланелей. Панель, обтекаемая потоком газа,
подвергается аэродинамическому нагреву н может выпучиться (13, 18].
Рассмотрим случай, когда поведение панели описывается системой (72).
Статические конфигурации панели определяют из этой системы при условии,
что <р/ не зависит от времени. В случае, когда df =4= 0, система не
допускает нулевого решения. Вообще говоря, коэффициенты d/зависят от
параметра температуры. Поэтому при изменении температуры будет изменяться
величина прогиба панели. Другой случай реализуется, когда все dj - 0. В
этом случае система допускает тривиальное решение, соответствующее
первоначальной плоской форме панели. Исследование устойчивости этого
рещщ-пя показывает, что на плоскости параметров скорости ц и температуры
0 можно выделить область устойчивости плоской формы панели. Амплитуды
выпучивания можно определить нахождением нетривиального не зависящего от
вре мени решении системы (72) и исследования устойчивости этого решения.
Фактически осуществляемые амплитуды выпучивания ссответслзуют устойчивому
решению.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Опертая по контуру примну; о л ь и а я г. ласт и н к а. Область
устойчивости на плоскости ji 0 ограничена отрезком эллипса [13, 16]
("11 ~ *11(r) ) ("ll ~ S21 (r) )+ М 2~ 0
и прямой
S - S
В + -
(74)
{демпфированием пренебрегаем).
На рис. 23 область устойчивости заштрихована. Для определения амплитуд
выпучивания целесообразно решать систему уравнений ие относительно
неизвестных <р, п <рг, а относительно параметров р. и 0 116], На
плоскости ц. 6 нетрудно получить семейства кривых <Р, - const' II <?>2 -
const, ЯВЛЯЮЩИХСЯ горизонталями некоторой поверхности. Часть из
полученных решений устойчива, а часть - неустойчива.
Пример 2. Опертая по кои-г у р у цилиндрическая панель, прямоугольная в
плане L53] Б этом случае, вообще говоря, dj't-О. Последнее имеет место,
нппри-кер, в случае, когда кромки панели d=0 и у-Ъ ire могут смещаться в
тангенциальном направлении. При любом изменении температуры прогиб панели
изменяется Величины амплитуд температурного выпучивания можно определить
решением соответствующей систе-
506
Теория аэрогидроупругости
мы уравнений Линии - roust и if. = const для частного случая лзмеля
с параметрами -r*= I; Р_.= Р"= I; Р = - 0,125 показаны на рис. 24. При О
л У
этом параметры РА" ру и р определяются соотношениями
там же показана граница устойчивости (сплошная жирна" кривая)
Возможен случай, когда dy = 0. Таков, например, случай свободно cue*
