Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
параметров - и можно вычислять по формулам (53) и (54). Из
двух полученных значений Л4*г и Л1"2 следует брать меньшее.
Круговые цилиндрические оболочки конечной длины. При опре делении
критических скоростей флаттера достаточно тонких оболочек (но R
крайней мере, при -
• 100) можно использовать основные соотно-
шения технической корни топких оболочек 169 (. В этом сдуич для
496
Теория аэрогидроупругости
безразмерных перемениыка=~, (3 - (рис. 17) дифференциальные операторы Цу
системы (36) будут иметь над
_ д2 I - v д2 __ I - v д- , д2
""Йо5"1 2 ' др5"' -л ' 2 * да5" " д^;
iss=caaa + i; iu ^ =-L
. , д , д
Lt3-Ls"=7р-.
Используя для определения аэродинамических сил стационарное ли не иное
приближение формулы поршневой теории и предполагая также, что р = р0, в
случае отсутствия начальных усилий в срединной поверхности оболочки
запишем формулы для компонентов поверхностной нагрузки:
, д2и д6^
- Ях - Ро" ор Яч - Яу - РоЛ I
д2ы< dw
К =4* = - dT'
Критические скорости флаттера определяют на основании исследования
свободных частот оболочки в потоке газа. Для свободных колебаний с
частотой "а решение системы (36) представляется в виде и - Un (a) cos "Р
еШ1\ v~Vn(а) sin/if) егШ; w - Wn (а) cos nfi et(0i. (55)
где п - рассматриваемое в качестве параметра число волн упругой
поверхности оболочки в окружном направлении;
з 8
l/" (а) = J] C,""p}i>(a); У" = ? С,>(о):
/=1 . / = 1
Й
\v" (n) -= ? с1пгф (о); i^e)
/=1
Ч5}?/' Ч1/??" V//? (/ - 1 • 2, ... 8) - вещественные часгные
решения
системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой после
подстановки решения вида (55) в исходную систему (36); С1Л -
вещесик.'нные постоянные интегрирования. Явные выражения для частных
решс-лип ф^, ф}^, ф|^можно записать после вычисления корней
характеристического уравнения.
После подстановки решения (55) в граничные условия (но чегмрс
условия на каждом нз торцов a = 0 и а = у) придем к системе
восьми од-
нородных уравнений относительно величии С1П. Приравнивая нулю
определитель Д, составленный из коэффициентов, стоящик при С1П, можно
получить уравнение относительно искомой частоты со.
В дальнейшем введем обозначения-
и=4<1 м-, x*.,(i-v")is^ei. Y_^. (j?)
Флаттер ободочек и криволинейных панелей
497
Дли определения критических чисел р*, соотнетствующих началу
возникновения флаттера, необходимо при каждом фиксированном число волн п
в окружном направлении построить зависимости Я=/(р). Значение р., при
котором впервые появляются два кратных значения /.. переходящих при
последующем увеличении р н комплексно-сопряженные, дает искомую величину
р*.
Частоты Я целесообразно определять численным методом [19],
сущность которого состоит в следующем: для исходных значений ,
Я
-г-, v и фиксированных значении числа п и пели чины р, задают ряд
последовательных значений параметра частоты Я, для каждого Я вычисляют
величину определителя А; нули кривой А = f (Я) дадут искомые величины
частот Я. Вблизи границы области флаттера зависимости Я = / (р)
целесообразно строить другим способом. Так как при фиксн-
1 Я а
ревнивых значениях v и п величпна Д является фупкциеи дву х
переменных Я и р, то в этом случае нули функции Д - f (Я, р) можно
определять, задавая ряд последовательных значений параметра р при
фиксированной величине Я. Полученные таким способом значения us следу с:
рассматривать в качестве точного решения задачи об определе нин
критических скоростей флаттера замкнутой цилиндрической обо лочкн
конечной длины в данной постановке; они могут служить эталоном для оценки
различных приближенных решений.
Весьма надежные результаты при определении критических скоро-
стей флаттера для длинных цилиндрических оболочек дает
применение метода I' ал ер кипа. При этом решение системы уравнений
возмущенного движения ищут в виде рядов, где в качестве координатных
функций используют формы свободных колебаний незагруженной оболочки в
вакууме
здесь и,пп' Vmn, \\7,пп характеризуют форму срединной поверхности
оболочки в направлении образующей при преимущественно поперечных
колебаниях. Функции Umn< ^тп, ^тп удовлетворяют всем граничным условиям
на торцах оболочки. Из условий ортогональности свободных форм колебаний
следует, что
и =-- cosnjJ V [тп {t) U,"n (а): /"=]
V - bill лр 2] !та (О Ути (а);
IK- 1
_ cos Лр 21 fmn Р) Wmn (а);
т -1
X
\ (VmnUJn -i- VmnVin + WmnWin) da = 0 (m + /).
498
Теория аэрогидроупругости
В этом случае критические числа р* определяю! из уравнение
|(х^-^)е,ч + ^(">|=о
0 - 1, 2, .... mi, /л =~ 1, 2 ту, п -. 1, 2, ) уд8)
где Кпп - собственные безразмерные частоты преимущее. i пенно поперечных
колебаний оболочки в вакууме; 8т / - символ Кронекера;
J da тп "**
с<"1 _ Y <>__________________________________
"'/ 4 ^
| (t'L + + ft,,) **
0
Число волн в окружном направлении, минимизирующее критическую скорость.
Критические числа jx* являются функцией числа воли в окружном направлении
п. Функция jx* = / {") имеет минимум при числе
