Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
<р удовлетворяет волновому уравнению (3) условию
dtp dw ... dw . Л
-2- = -rrr- + U -д- при г = + О, дг dt Г дх
условиям ограниченности и условию излучения иа бесконечности. Решение
уравнения (26) ищем в виде
ш(х, О =ще1 <"-**>,
1'{е к,'0, Q и k - константы, причем kw0 -¦? 1. Выражение для потенциала
скоростей имеет вид
Ф= exp [ ilOt - кх) - к |/ 1-АГ г|.
Vl-M'i
где Мг - число Маха в относительном движении I V I
м>- ж-т--
I с0 I
Фазовая скорость V распространения упругой волны в пластипке при
отсутствии потока имеет следующее значение:
"2 D&+N*
ph •
Характеристическое уравнение, соответствующее данному случаю, можно
записать в виде
рhk(vl
у i-m?
При сверхзвуковом обтекании (М > 1) и для не слишком больших длин воли
критическая скорость определяется выражением
UKp =- Fo (k) ¦ (- с0. (2/)
Для несжимаемой жидкости ?/*# = 1^0 (Л). Для последнего случая более
точной является с|юрмула
^ = Уо(*, ,/1±К
Как уже было указано, формой движения пластинки при флаттере являются
волны, распространяющиеся в направлении потока. В то же время волны,
распространяющиеся вверх по потоку, всегда затухают Скорость газа
относительно бегущих волн всегда дозвуковая. Для малых длин волн (порядка
толщины пластинки h) штютеза Кирхгофа-Лява становится неприменимой. В
этом случае неусюйчивое движение пластинки имеет вид поли Рэлея, а
скорость совпадает со скоростью их paciipoci ране имя |32. 33 J.
16 зак. 19Ш
482
Теория аэрогидроупругости
Прямоугольная лласшмка, опертая по контуру. Рассмотрим прямоугольную
упругую пластинку со сторонами а и Ь постоянной толщины h. Пусть
пластинка оперта по всем кромкам, вмонтирована в абсолютно жесткую
диафрагму и обтекается с одной стороны сверхзвуковым потоком газа с
невоэмущенной скоростью V (рис. 11) Уравнение малых колебаний такой
пластинки, подверженной постоянным растягивающим усилиям К!х и N у, имеет
вид
f N"w) v
(29)
Аэродинамическое давление будем определять по формуле стационарной
трехмерной теории (68]:
и
ф =
U f* р dw dig dr]
п" 11 Ж " т
.1 .1 ((Ж - 61я - Р3 (ftf - ПП *
где Р = \f М? - Г.
Интегрирование во второй формуле ведется по переднему конусу Маха
Разыскивая решение уравнения (29) в виде
w(x,y,l)-Re j >; y'Jrs sin ~ sin ~У-е,и'
придем к системе уравнений для определения frs:
+ ] +'И*йе+"*(-?") Nv - toajx
X jmn = ~a ^ ^ Ltnn, rsfrs(m, n = 1, 2, .. .); (30)
-?^!q3- й N NyUi-
" n2D ' * ~ лЮ ' * n*D1
D V № - l
Флаттер плоских панелей (линейные задачи)
Обобщенные силы определяют по формуле
({л - е)2 - р- {у -tj)2]3
Чтобы исключить из интегрирования область, лежащую вне пластинки. введена
ступенчатая функция
{ 0 при I] < 0, г| > Ь;
^ ^ i 1 при 0 < "j < 6.
Величины обобщенных сил для четырех значений Р = 1, 2, 4
и оо вычислены в работе (68] Используя условие существования не
тривиального решения системы (30), можно получить уравнение для
вычисления критического значения параметра скорости потока X*.
Для различных значений Р " й &х эти значения приведены в табл. 2
Как показали вычисления в работе (68], при изменении Nyn достаточно
широких пределах параметр ХЛЧ практически не изменяется.
2, Критические значении параметра К Для прямоугольной опертой по контуру
пластинки, сжатой в направлении сверхзвуковою потока
\'х Р- Ь
¦ 4 оо
6 84ь 860 563
4 648 ебь 6Г7 680
2 480 406 502 505
0 323 334 300 341
170,6 186,3 189,1 190,3
-4 54.4 56,6 57,6 58,0
Прямоугольная пластинка, опертая но контуру. Применение приближенных
формул для избыточного давления. Решение задачи для опертой по контуру
пластинки, обтекаемой сверхзвуковым потоком, полу чоно в работе (68] с
применением для аэродинамического давления
484
Теория аэрогидроупругости
формулы Аккерета, и в работе* 1471 - с применением поршневой теории. В
случае применения поршневой теории аэродинамическое давление определяют
по формуле
Решение ищем в виде
w = Re ? W п (a) sir" е1 а 1 j .
Уравнение для Wn (|) в этом случае можно записать следующим образом:
Г ;,v - 2Дл%'+ Л4г" + )Л~" Ч-ОГ"=0.
здесь
/? = Л-Jf + гг-* () ; a = Cir + iia<i;
, Й2 й .
"-щ-'ъ'--<| = -Г"а*-|-л!(хУ
+ °-±V
, a8p0v-t/
?>с0 •
Характеристическое уравнение
(r2 _ дал2)а + ^ - о =0
зосле яреобразования
rlt5 = а ± *(3;
>-8.4= - a±V f>2- 4u2 для данной краевой задачи будет следующим:
К = - 4а (Р2а2 4-4я2); а = Я2я4 + (с2 + р2) (Р2 - Зи2 (- 2/?п2);
" _ а2 (ch 2а - ch )/р2 - 2п2 + 2Дл2 COS
р
Р' ~ (Р2 - За2 -г Д.ч2)2 + 4а2р"-
+
1 (Р2 - а2 + Дя2)2+2и2(а2 - Ия2)
2 ' (Р2 - Зо2 + Лл2)2-г 4п!р!
у sli Vf? - 2a' + 2Rn' sni |i _ n /Р2 - 2а2 + 2 "л2 " P "
(32)
Флаттер плоских панелей (линейные задачи)
485
В рабоге [48] предложено различать две критические скорости. Первая - это
дофлаттерная скорость. При этой скорости движение панели из стоячих волн
переходит в бегущие волны с ограниченной амплитудой. Вторая - флаттер на
я скорость, т. е. скорость, при которой амплитуда бегущих волн начинает
возрастать во времени. Для дофлаггерной скорости было предложено
