Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
существенное значение имеет парное взаимодействие различных степенен
свободы. Эта сторона становится особенно ясной, если от системы с
бесконечным числом степеней свободы перейти к конечномерной системе.
Наиболее распространенный подход основан на задании движения крыла
и следующем виде:
О (д, 0^-21 (Ov* W; и Ч - у 1ч ('1 t/< М: <17>
г U'D V>1'$
УжОфл
0 U=0 Res
478
Теория аэрогидроупругости
чдесь gk и fk - обобщенные координаты, первая из которых соответствует
изгибу, вторая - кручению; и - функции, удовлетворяющие краевым условиям
(например, "балочные" функции). Подставляя выражения (17) в уравнения
(12) и применяя вариационный метод Галер кина, придем к системе двух
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно и
Вычисления показывают, что, удерживая в рядах (17) по одному первому
члену, мы получаем качественно удовлетворительные результаты. Изгибно-
крутильный флаттер поддерживается, следовательно, благодаря
взаимодействию основных форм изгибных и крутильных колебаний. На
критическую скорость существенное влияние оказывает соотношение между
парциальной собственной частотой изгибных колебаний и парциальной
собственной частотой крутильных колебаний. В зависимости от соотношения
параметров критическая скорость флаттера может оказаться как меньше, так
и больше критической скорости дивергенции.
Колебания плохо обтекаемых стержней в потоке газа. Рассмотрим колебания
плохообтекаемого тела, например, кругового цилиндра (рис. 7) в потоке
газа. Характерным для этих колебаний является возникновение в следу
вихревой дорожки Кармана. При отделении от тела одиночного вихря
циркуляция изменяется на величину, раиную интенсивности вихря. Если за
телом образуется вихревая дорожка Кармана,
то с тела попеременно через равные интервалы времени срываются вихрн
противоположного направления. Поэтому возникают периодические ьзмененин
подъемной силы, что служит причиной колебаний, происходящих поперек
направления потока.
Если "илиндр неподвижен, то частота срыва вихрей 0 может быть найдена из
условия, что число Струхаля (приведенная частота)
Более точное эмпирическое соотношение, справедливое для чисел Рейнольдса
Re, лежащих в диапазоне 40 < Re 5* 10я, имеет вид
Амплитуда подъемной силы, действующей на неподвижный цилиндр, может быть
найдена по формуле
Рис. 7
(18)
(19)
(20)
Задачи аэрогидроупругости для стержней
479
где
= 2/2-^(1 ?-*). (21)
a fc - расстояние между вихрями (см. рис. 7). При k =0,2 и - 4,3
формула (21) дает Су = 1,70. Это значение, по-видимому, даст верхний
предел коэффициента подъемной силы. Опыты [12] дают значения с у = =¦-
0,50-ь 1,00.
Колебания плохо обтекаемых тел в потоке газа могут трактоваться либо как
вынужденные колебания, либо как автоколебания в некоторой системе с
запаздыванием [12]. Опыты показывают, что колебания, воз-
буждаемые потоком тяжелой жидкости, лучше описываются как вынужденные
колебания, а колебания в потоке газа - как автоколебания [12, 15].
Механическая модель цилиндра, колеблющегося в потоке жидкости, показана
на рис. 8. Уравнение для описания автоколебании имеет вид
у + 2еу + Ч)~у = 1?У>|. (22)
где о) - собственная частота; е- коэффициент демпфирования; т - масса
единицы длины цилиндра; q - аэродинамическая нагрузка на единицу его
длины. Эту нагрузку будем считать периодической кусочно-постоянной
функцией с амплитудой <?", частотой, равной частоте колебаний цилиндра и
запаздывающей по фазе на время т (рис. 9). Предполагая. что перемещение у
(<) меняется по закону
у (/) = A cos в/, (23)
п беря первый член ряда Фурье в разложении для q \у (03, получим
"II/(01 (24)
Подстановка выражений 123) и (24) н уравнение (22) даст
А да sin сот; 0 да со 1 -j- ctg <от, (25)
480
Теория аэрогидроупругости
где с - коэффициент жесткости; б =
декремент затухания
собственных колебаний. Эксперименты показывают, что автоколебательные
режимы с большими амплитудами устойчивы лишь вблизи частот,
удовлетворяющих соотношениям (18) и (19), а сдвиг фазы от близок к
Следовательно, амплитуда колебании может быть оценена по формуле
где числовой коэффициент 1 < 3,4. Подробнее см. статьи [12, 43]
и в ли гературных источниках, указанных в статье [12].
ФЛАТТЕР ПЛОСКИХ ПАНЕЛЕЙ (ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ) Бесконечная пластинка.
Рассмотрим бесконечную пластинку, обтекаемую потоком газа. Ограничимся
случаем простой гармонической волны, распространяющейся вдоль потока
(рис. 10). и определим ско-
и 2 Vc 'к) 27Г .
X, L JL
рость потока, при которой амплитуда волны начинает возрастать со
временем. Движение бесконечной пластинки, обтекаемой с одной стороны
потоком газа с ненотчущенной скоростью V, может быть описано уравнением
Флаттер плоских панелей (линейные задачи)________________481
Здесь w - прогиб пластинки- D - цилиндрическая жесткость; h - толщина
пластинки; р и рп - плотности материала пластинки и газа соответственно;
Nx - растягивающее усилие в срединной поверхности. Потенциал возмущений
