Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
= Т" - Ь'
' 1 + v
га8 ((2-v)Xs - т
Ifco ¦= Vffl + -
-(vX* +ma);
Свободные колебания цилиндрических оболочек 425
Ч-'з = 4'зо + в2 j[(2 - V) X2 - "г'_| +12- V) л4 -
- (2-l,5v Ь G,5v2) т-/.2 + v- m"j;
iPao = - w; -Цр ^ _ (2 _ v)2|;
6 _ 6" + 6а [(А2 + rrff -2 (1 - v) А2 ~ га*];
Ь"- 1 - 2Ц~^- (А3 - 'и3);
с - ?,, - + j" 3 2 3 ( А- - т'-у-1 - '2(1 - х ) л1 -
(2 - V2) ш2А2 + 3~jp /я* j ;
Со =¦ 1 2 V I-Р + 2v) A2 f- га* + (А2 - га2)2|;
<1 =- <1,1 у + (8 - 2v;) га*-).* + *п*".*|;
4> = "о + 63 (- 2ш" +
4 - -Цр1 [(1 - v2) X4 + о2 (А2 - га2)4]:
".."[eu-af.
Во многих случаях корни л* (ft = I, . . .. 8) характеристического
уравнения (19) можно разбить на большие К и малые X
В общем случае произвольных краевых условий задача об определении частот
и форм собственных колебаний приводит к сложной краевой
задаче. Если допустить асимптотическую погрешность е = б 2 и использовать
методы асимптотического интегрирования, то основное уравнение можно
упростить. Эга задача рассмотрена У. К Нигу-лом [25].
Наименьшую собственную частоту можно найти приближенно по формуле
-(?Г-
совместно с формулой
1 1
Ст!"6 4 (| min К |)2,
426
Колебания оболочек
Граничные условия Навье. задача определения собственных частот и форм
колебаний цилиндрической оболочки существенно упрощается, если оболочка
занимает прямоугольную область U', Sj ^
s$s s2), а граничные условия являются условиями Навье. Для замкнутой
цилиндрической оболочки длины I (0 5$ х ^ /) граничным уелобиям Навье
удовлетворяют смещения, задаваемые формулами
<20)
I
twp
~Г
пт,х пиs чо1 w ~ s>0 sin -р- sm е
iiiij, ms = 1, 2, 3,. ..).
Подставляя выражения (20) Ь уравнения колебании (10) и фоОуя, чтобы
постоянные ихъ. и^. uic ие обращались одновременно о пуль, можно найти
уравнение частот
от - A'jCO^ -J- A[ti/ - k0 - 0,
(21)
*o=-g- o-v)2 ii + v) ?.4 + -^r *1 - vi г>2|(?.г4-га,)!-
- 2 (4 - Vs) AV - 8Агга1 - 2,.15 4- 4 (1 - v2) A5 j-+ 4A2f"2 + mil;
k, - -i- (1 - vl (A* + raj) • + - (3 - v - 2v') A2 4-+ 4-0 - VJ m] 4-1>'
[4-(3-v) (A2 + m3)3 H- 2 (1 - -v)
- (2 - v2) A2m\ i- (3 -1- v) m\ 2 (1 - v) A2 + nr, j ;
ft 2 = 1 4- (3 - v) (A2 4" raj) 4- 5! | (Aj 4" m})- -t-
+ 2 (1 - v) A2 + raj];
12 R*
Свободные колебания цилиндрических оболочек____________427
iro уравнение дает три значения частоты, соответствующих одним и тем же
значениям волновых чисел tnk и тг. Соответствующие формы колебании обычно
можно разбить на одну преимущественно изгибную и две преимущественно
тангенциальные. Если k0 достаточно мало, то наименьший корень уравнения
(21) может быть определен по формуле
2
со " ~
* "I
или по уючиенной формуле
"Н7 + Ш%-
Решение этой задачи дано Арнольдом и Уорбергоном [331. Резуль-, гы
вычислений приведенных час юг
со, = o)R
ГР I1
показаны на рис. 3-3. CJ,
"ЧГ гА
5 Л
6ч 7 ч % Г-
Й 8 9
-V*) Г
%-Q.t 102 М
2/
В табл. 2 даны результаты вычислений Барином и Влейхим 1341 безразмерных
частот
ш". (г)
и соответствующих форм колебаний.
426
Колебания оболочек
Пусть колебания е дот л точной степенью точности описываются уравнениями
теории пологих оболочек, п тангенциальными силами инерции можно
пренебречь Тогда уравнение частот примет вид
С
Г(лЧm])2 (ХЧ ^
0,9
(22)
L
Эта задача рассмотрена Яма ном [481.
Другие типы краевых условий. Точные решения. Пусть краевые условия на
торцах замкнутой круюиой цилиндрической оболочки отличаются oi условий
Павье. Удобно исходить н$ уравнений пологих оболочек, сохраняя псе
инерционные члены 1для этого в уравнениях (16)
430
: | Ф 1111! 111! S S S S 3 S- S 5- 1
- I !l a
| j mmmmmm
I I ф ШШШШШ И a Ii
! | - =1= S S 5- 5115!! 5! 811111 a S
i
Ф ^I5ll5!!?!!!!lsl
1 - ф |5|5s!!!!!I!!-!!E-S a !l s
a; 5 s 5 s 1111!!! 11111 ! -
-h 2 3 2 3 5 3 2 3 5 5 5 5 5 S 2 5 g s
431
г*|сч 1 ^ + 3 II i I 1 .-|j 1 i ! 111S! 1S SIS S 8 S 5- 0 1 з
i 1! a
*1* И?ИИ"НИН?!
1 S933U5933S933SH!
- Ф ШШШёНвШ! f f 11 f t t i i 1 ° 11111 fi Jl ! й
5-?-!IISIi!i!iI!IIi|
i mmmmum
в-- ii € a ф- ^ттштт
Ф тттмгть S II г
13255 ;a- .2 ;Wgg j'ggg ;
s ?-! 111111! 5111! 1SI -
~ * 5 3 5 3 3 2 3 5 5 2 5 5 5 5 2 2 2 8
432
Колебания оболочек
опустим члены в квадратных скобках]. Решение уравнений может быть
записано в фирме
а, -= Ux (a) coswj*""*; иг~ U2 (а> sin пц>еш1\ из - W (a) cos пцеш\
V, - У C,"fc<>4V; и2 = ? ,23)
1 /-!
ir-^gc,(а = -^-; Г-ъ).
где п - число ноли в окружном направлении; kj% - постоянные;
"Kjn - корни характеристического уравнения
Ьп'К* &!>." 4- ЬЛЛ -J- fc3fc'J + - 0, (21)
коэффициенты которого зависят от параметров оболочки и от безразмерного
параметра частоты
И. = *м
следующим образом.
fti- 1 g-V- 6Z: 6, = 6: (n;;- o,2) - (6Jc,i - <J);
bt = -I-v (o.u - oud-v2) + d ( ap - o;2) - 6so, ,o bi -uii\-Цг~ °1| + °I2
- °a) -i- °? {an'l 1- v') +
-*-Ягз'."2я~ 2(tm)");
b4="n (4) - "2А3).
где
2 I - V ¦ 1 ф V ¦> v
Оц = 0)^ g- п ; ai2 - -I,- n; - " - er;
°23=n; "m = 1+n*(r):-"?; d = 2"3e"; (r)2 = -j^s- ¦
