Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
w =_ Uj = и, - и2 ----- О;
Дифференциальные уравнения колебаний оболочек
421
I 1 рлмичмые условия для края к, = const оболочки
0<л>-¦ша чс н и с Н(tm)"е Краевые условия
5 Опертый край, свободный в направленны хх (условия Навье) CF=*U AT,,
=0; .?,, = ft; ut= 0
S* Опер тыл неподвижный край w = 0, Mlt ^0: и, = 0; и2 ~ 0
Опер: ыЯ край, свободный в таш счщеалькыл. направлс- w -11; ЛГ,,
- P; Л',, 0; Kxs - .\f12 ^0
С Пол "штью чаще -пленный край W - <J; 0j = 0; w,- 0: U2 - 0
с. Защемленный край, свободный id - 0, 0, .0; .Vu=0; "*=0
Со З.ч ц н мл е н ны н кр а й.свободн ы й и т.. нгенцв ал ышх
направлениях W = 0; - 4; iV,, - I); .V12 - -J- M,2 = С
с, За щоу леа мы й кран, свободный lb = 0; 0 • - 1); A'jj - M,* =0
F Свободный край l ИМ., Q'+-n;~*r^0: Nlt= 0; ;V1S - -i- Л/" =0
условия свободного кран
^ ~Ти ' ~ТхГ ^ МН ^ Л'п = Л12 - -?Г~ Ми = °-
Другие виды граничных условий (условия упруюй заделки и т. п.) отличаются
or указанных гем, что в них краевые усилия могут совершать работу на
перемещениях оболочки.
Уравнения безмоментнон теории для динамического случаи. Пусть для
некоторых форм колебаний напряжения изгиба пренебрежимо малы по сравнению
с напряжениями, связанными с усилиями в срединной поверхности. Тогда
можно использовать дифференциальные уравнения безмоментнон теории
оболочек, получающиеся из уравнений (1)
422
Колебания оболочек
п\ гем пренебрежения изгибающими моментами и перерезыва-
ющими силами Qa:
4- Л']
___1_
Н\И-
н,н. [
'>"1 ., (r)Г_Л' Д№А)
г) (Л'ц//а) d (A'ei//|) t)X| fJx2
<38г<!
+ Л' ¦Уч
я.
гк|
а//.
-Л',
Ль
fWt
джЛ
, дИг 1 , , Ль
'*¦ 0*rJ +,fc [ "*' :
- fla = - рЛ
а/з *
Соотношения упругости могут быть получены из формут (2) путем
пренебрежения членами, содержащими компоненты изменения кривизн Х<ф
Количество граничных условии для без \ю мен твой теории оболочек должно
быгь понижено вдвое. Так, из граничных условий (см. стр. 420) следует
сохранить только комбинации условий (10) и (II).
Уравнения теории пологих оболочек для динамического случая. Пусть
колебания носят преимуществепно нзгибный характер. Тогда в выражениях (4)
для компонентов изменения кривизны можно пренебречь вкладом
тангенциальных компонентов вектора смещения
(13)
1 в , ( 1 dw > k I dll. dw
Их ' дх, 1 1 И, * дх, j дх.2 dxs 1
1 М dw ' \, 1 дП.г diif
Иг дх2 к н, дх2 j дх. ~дхГ
1 / &3w I дНх dw____________________
~ Н,И2 \ дх, дх.г II, дх.2 дх|
Ht
f2 dw \
1 <>-ч )'
Кроме того, можно пренебречь в первых двух уравнениях споем (1)
тангенциальными силами инерции и перерезывающими силами Qlt Qs. Тогда в
предположении, что тангенциальные компоненты внешних <ил qit q2 равны
нулю, можно ввесги функцию напряжений х по фор* мулам
1
д (
Фс \
1
дН.2 0%
СчоСюдные колебания цилиндрических оболочек____________423
V _ v__________________1 ( I °/
" " ' И,Н, \ Ox, дх, Н, <
дх., дхг
_i ен. Оу. )
Н2 Ох, Ох, )
(14)
Если исключи (ь из уравнений (1) усилия но формулам (14) и моменты по
формулам (2) и (13) и добавить уравнение совместности деформаций, 10
система дифференциальных уравнений будет
dlw
ДД*-Д"щ = 0;
<15)
здесь р = % - нормальная компонента внешней нагрузки. Оператор Лапласа Д
н оператор Д* определяют по формулам
д*- н,п, [а*. (
( Н, д
Ли,' дх,
Иг В
И,Иг ' Ох,
Дифференциальные уравнения (15) в литературе называют уравнениями пологих
оболочек, уравнениями теории краевою эффекта, а также уравнениями для
состоянии с большим показателем изменяемости.
СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ОБОЛОЧЕК
Дифференциальные уравнения колебаний в перемещениях. Пусть в качестве
координат на средишюй
поверхности цилиндрической обо- Рис 0
лочки выбрана координата хх - х вдоль образующей и длина дуги
х., - s в окружном направлении (рис. 2). Тогда коэффициенты Ламе III, Нъ
будут равны единице. Радиус кривизны Rt обращается в бесконечность,
радиус кривизны R2 - R = const.
Уравнения колебании круговой цилиндрической оболочки в перемещениях имеют
вид
424
Колебания оболочек
I - v*\
б-и2
ds*
(Fiu
'~дхГ
д*-щ
дх ds
,о ... /. ^
, 2 (X V) к А 2
+4"^)+т?[2(1~
j-р" ~ж) +
дЧи V)~W +
#2 ;
1 dib
R 1 - v2 ^ dx ' ds
-j-D /дДьу -
ds(r) J |
= -Ph
dt l '
(16)
Уравнения бсзмоментной теории оболочек получатся, если в уравнениях (16)
опустить нее члены с .множителем D. Уравнения пологой оболочки получаются
при пренебрежении членами в квадратных скобках.
О применении упрощенных дифференциальных уравнений теории оболочек. Пусть
решения уравнений колебаний цилиндрической оболочки (16) могут быть
представлены в форме их = Ute^ cos /н<(¦<?'<l>z-
"Е = U.2eK^ sin тфгшН w = cos /ифе140*;
(*4b*=ir)-
(17)
Подставляя выражение (17) н уравнения (16), можно найти свиль между
комплексными постоянными Ux, U2, IIх'•
ф,С/, *= - ИгН?, ф,С/2 = - тфзW (161
и характеристическое уравнение
ю(r) - bu>* -J- а- d - 0- (19)
Здесь для сокращения приняты обозначения чн - Ф., + У {2(1 - V) [if - 2 -
-j^Y тп? -г +
-|- </[ [2(1 -V)?.2 t!!111; Tiu= [ш2 + >.2 -т2] [ц2+ 1 7V f*8-'"2)] ;
