Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
М., Стройиздат, 14Г;(5.
19. Тимошенко С П. Устойчишн-ть упругих систем. М., Госгех-нздат, 1955.
20. Филиппов А. П Колебания механических систем. Киев, "Паукова Думк.;".
1965.
21. Andersen В W- Vibration о{ triangular cantilever plalcs by the
Rltz method. Journ Appl. .Much., vol. 21. n. 4, 1954.
22. Barton M V. Vibration of rectangular and skew cantilever plates.
Journ. Appl. Mcch., vol. 18. ti- 1, 1951.
23. Bolotin V. V. Vibration of layered clastic plates. Proc. vihr.
probl., vol. 4, n 4, 1963.
24 Bolotin V. V'. The densily of eigenvalues in vibration problems of
elastic plates and shells. Proc.. vlbr. probl., vol. 6, n. 4, 1965
25 Bnchwald V. T. Low frequency of flexural vibrations in clastic plates.
Quart. J. Mecli. Appl. Math., vol. 12, n. 1. 1959.
26 С a d a m b e V.. Kimaraswaml M , Kanl P. К , Tr,ms-vcrsc vibr"Iions
of thin cantilever plates of trapezoiddl and triangular plan form. Journ.
Iiisl. Engrs of India, n. 5, i936.
27. Г, h r i S t с П s c n R. M. Vibration of a 45° right IrianguLir
Cantilever plate by a pridvtork me!hod. AIAA Journ. vol. 1, n. 8. 1963.
28. Eschler II 7i:r Ermittlung der Elgenschv/ingnngeii rier in ihrer
Milleiebc-iie belasteicn Rciiilcckplatte. Ing. -Archiv, Kd 18. H. 5.
1950.
29 H u К л n - С li и. Herrmann G. Free flexural vibrations of
rectangular elastic plalcs Journ. Appl. Mech., vol 23. n. 4, 1956.
30. 1 s и c h i S- Bscgeschwingungen und Klargfigiiren rier
vierseitig
ciiigespaiinlm lechtecl-Tigcn Platte Ing. -Archiv. Bd 8, H. 1, 1937.
31. I g uf h i S. Die Elgonschwingungen mid Klaiigf ;guren dcr vierseitig
fieien rechteckigen PMHe. Inc -Archiv, Bd 21, H. 5-6. 1953.
32. S a ii 1 P. It, Cadambc V, The natur.il frequencies of ihin 'kcw
plates. Aeron Quail , vol. /4, n. 3, 1956.
33- Klein B. Fund a menial frequencies of arbitrarily shaped simply
supported triangular plates of arbitrary plan form Journ. Roy. Aeron.
Soc.. * o! 60, n. ill. 19o6
34. Mindlm R 1). Influence of rotatory inertia and shear on flexural
motion of isotropic ehislic plates. Journ. Appl. Mcch., vol. 18, n. I,
1951
35. О d m a n S Т. А. Ыudies of boundary value problems, part 11,
Characteristic functions oi rci tangular plates, Sv Forsk. Inst, for cem.
arch lict.. Stockholm. 1953
36. S li i b a о k a G. On the transverse- vibralion of ,nr elliptic
plate
with clamped edge. Journ. Phys. Soc. Japan, vol. 11. n. 7, !9o6.
14 зак 1.119
Глава 8
КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК
ЛИФФЕРЕНЦИЛЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКИХ
Общие уравнения теории тонких упругих оболочек для динамического случаи.
Пусть оболочка отнесена к ортогональной системе координат хх, х.>, д'я с
коэффициентами Ламе Нг, Н3 = 1 (рис. 1), причем координатные линии на
срединной поверхности (хх- и ха- линии) совпадают с линиями главных
кривизн с радиусами кривизны /?, и Rz. Тогда в рамках гипотез Кирхгофа-
Лява дифференциальные уравнения колебаний оболочки будут иметь вил
УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК
НХИ,
[
I
(1)
HtHt
д(мм a(MS2/yl) днх
ЖГ~ т
дхЛ ' дх, 1 11 dxjj
М"-2 | ^21 _ 0 /?. ' Я * '
где Ну и И.2-параметры Ламе.
Дифференциальные уравнения колебаний оболочек 419
Связь усилий в срединной поверхности Л',ь М22, Л'1г, Л2| н моментов
Л'!I,. Ml2. Мis ~ Мп с деформациями срединной поверхности *,ь
Xj~Z
с~2->, с12 = e2i 11 изменениями кривизн *1Ь х22, х,4 = x2J определяется в
случае изотропной оболочки следующими формулами;
¦тз l*u -Н ve22);
¦ \ZZ -о vt'n);
ы А* к,*
1 V \ 12 ' /?".
Eh. (е h*
1 -j-V \н 12
(2)
Afj-| =- D (jt]| ;
Л!"" - D (:<22 vxu);
М[2 - D (1 - v) xjg.
Эти выражения удовлетворяют шестому уравнению системы (1) и
дополнительным условиям, связанным с обоснованием энергетических
принципов.
Компоненты деформации и изменений кривизн срединной поверхности можно
выразить через компоненты смещения щ, иг, ия = и>:
420
Колебания оболочек
Н, ' дх, ^ И, * дх, R, )
I - J 0*h( JL ^ t/л \
+ /У,Я2 * дх2 V Hi ' дх, R2 / ;
1 _______________
//г dXg V #з dx2 R,
d < f 1 ^ да:
дх, ' k Ht * дх,
в дН, / 1 д(r)
дх2 V Я* ' 5-4
5 / ' 1 дщ
й*а ' t н2 дх2
д/У" / 1 dw
дх, \ W. ' 5х,
д2и> дН, / 1
___ 1 Г д2ш д/У, / 1 oio о, \
*12 " ПгНо [дх, дх2 ~ дх2 V Н, f)Xi Т?7 /
Ш2 / I dto "о \ /У, (9wt Н% ()и, 1
дх, \ И.2 дх2 j?2 у дх2 R, дх 1 J '
(4)
Углы поворота определяют по формулаw
1 fra U, о - 1 dw и* (*\
Н,' дх, R, * 2 " Я2 ' дх2 R2 * (5)
Потенциальная энергия деформации оболочки
0 = 4" jI {г^ Ке" + - 2 u - V) (Ецв,, - е;,)] +
+ D [(к,! Н-и^)2 -2(1 - гЦкцКщ - Яц)] '^И1ИгЛх1 dx, (6)
Кинетическая энергия
г-41|рл [(4r), + (^-)! + (f Л НА****- й)
Классификация граничных условий. На каждом краю оболочки может быть задан
один из 16 видов однородных граничных условий. Эти виды для края х1 =
const определяются всеми возможными комбинациями следующих четырех
условий (табл. 1):
а> = 0 или + И, а*г (8)
0i --=0 или ми - 0; (9)
"1 = 0 или (10)
ы2 = 0 или ЛГ12 (11)
Наиболее распространенными являются условия Нанье
w Mt, - Nu - ui _ 0;
условия заделки
