Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Изгибающие и крутящий моменты, а также перерезывающие силы находят по
формулам
Л1""с(_^7+'' _
av/г2 Г
IiP И-
<?2=;
р 1 ( ' dt, . <"¦¦
° 2 \ . дх, дх.
щ 2(1 4-v) (•-?)
f>Eh (, *? \
2(1 + v) \ <***/
Функции F (г), / (2) и ft (г) связаны между собой формулами г
F (г) ^ \ IW <fe:
Л <г> =
-(4)
h_
12 j' Fzdz
Иногда пола! а ют fi(z) = 0.
Параметр а ранен либо нулю (это соответствует пренебрежению поперечным
нормальным напряжением o^), либо единице. Наиболее
Колебания пластинок
энергетическое обоснование при изменении касательных напряжений Ti 1. т-
2" по толщине по закону квадратной параболы = 1 - 4 ~J . В качестве
функции / (г) обычно выбирают параболическую
/<" = 1-^г
или близкую к ней функцию.
Граничные условия на каждом краю могут быть заданы одним из восьми видов.
Они определяются всеми возможными комбинациями следующих трех условий:
wr=-. О или Оп^О;
tn ~ 0 или Мп - 0;
ts = 0 или - 0.
Наиболее распространенные условия: для защемленного края
w = 0; tn = 0; U = 0
(равенство нулю прогиба и осреднеииых поворотов); для свободного края
Мп = 0, Mns - 0, Qn = О
(равенство нулю из1 ибающего и крутящего моментов и перерезывающей силы);
для опертого края условия Навье w = О, Мп =0. ts = 0
(равенство нулю нрошба, поворота вокруг нормали к контуру и изгибающего
момента).
Свободные формы колебаний опертой прямоугольной пластинки целесообразно
искать в виде
w =w0 siu kiXi sin k2xs;
Ф = ф0 sin k^i sin kzx2\ ф = ф0 cos ktXi cos k2x2,
(. 3imt nm2 . 0 \
Ri - ; k2 --------; m,, m* = 1. 2.. . . J.
V fl! ' a2 " J
При учете деформации сдвига и инерции вращения при фиксированных
значениях mt и т2 уточненные уравнении дают три значения частоты, из
которых теории, основанной на гипотезе Кирхгофа-Ляна, соответствует
частота, определяемая но формуле
Ж. -р gel, [ ¦": +1) т
+ "ft^]_|[(fti!=|v2^+1)(4{-4)h
+S^]*-*,.-">W+4r}\
Нелинейность, начальны,' усилия, инерция вращения, аюиг 405
При пренебрежении ииерцис-й вращения нормальных "ле% гитов 31 а же
частота определяется формулой
, Р (*v -I-
Из решения трехмерной задачи теории упругости вытекает, что при
фиксированных значениях тг, гп2 существует бесчисленное множество частот.
Результату теории, основанной иа гипотезе Кирхгофа-Лива, соответствует
первый отличный от нуля корень уравнения частот
"<Уа (*1 + *!)"• •^¦-'(*5-'- *j I- rl)2 th
Результаты вычислений параметра частоты
у = .:Т^ |г Р < 1 - V> j 2
но классической теории, уточненным теориям и трехмерной теории упругости
для квадратной (а, -= аг - а = 40ft, v = 0,3) пластинки даны в табл. 15.
13. Частоты к =_ -- j -р J опертой квадратной пластины
(а, = а, = а = 40fc. v - 0,3) при различных числах я;,. тг полуволн
Метод вычя! лен и я |1 Е ? Т Е S ii ЕЕ И ЕЕ* и её" 1! 1! 1 И SS
II 1. ЕЕ
Г ипотеза Кирхгофа-Л чва Уточненные ур 1чпспцн 0,0642 о,1б0 0,321
0,257 0,417 0,577 3,14 Ь, 40
"-". P-i 0,0639 0,159 0.316 0.254 0,409 0.564 2, S0 5,21
" Р"Т 0,0640 0,159 0. Н7 0,254 0,411 0,56G 2,84 С, ">
0,0640 0,159 0.317 0,254 0,411 0,56 и 2,86 5,38
3 рсчмерьиН' У|М11НГ!| нч 0,0640 0,159 0.117 0.254 0.4 11 0.566
2,86 5,34
Колебания пластинок
ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА К РАСЧЕТУ ПЛАСТИНОК НА КОЛЕБАНИЯ
Идея метода. Здесь приведены общие сведения об асимптотическом методе,
позволяющем исследовать частоты и формы свободных колебаний упругих тел
при достаточно высоких волновых числах (подробнее см. работы (4-7}).
Согласно этому методу асимптотическое решение для ферм свободных
колебаний выражается в виде суммы внутреннего решения и поправочных
решении, которые называют динамическими краевыми эффял-гпами. Для каждой
границы тела строят решения, удовлетеряющие дифференциальным уравнениям и
условиям на соответствующей границе Число таких выражений равно числу
границ. Затем полученные решения склеивают. Эта процедура аналогична
склеиванию моментных и без моментных решений в теории оболочек или
склеиванию вязких и нсвязких решений в гидродинамике. Вообще говоря, это
склеивание может быть выполнено только приближенно. Чем быстрее затухают
краевые эффекты, тем меньше ошибка асимптотического решения. Процедура
склеивания позволяет получить систему трансцендентных уравнений для
параметров, определяющих как внутреннее решение, так и краевые эффекты.
Затем может бьпь получено асимптотическое выражение для собственных
частот. Что касается асимптотического выражения для снободных форм, то
око может быть построено для всей области, исключая окрестности углов и
р~бер. Э;о шпично и для других методов, использующих идею краевого
эффекта.
Динамический краевой эффект в пластинках. Применим асимптотический метод
к однопролетным и многокролетным прямоугольным в плане пластинкам. При
этом получим асимптотическое решение задач, точное решение которых
неизвестно, а также задач, точнее решение которых слишком громоздко.
Дифференциальное уравнение свободных колебаний пластинки постоянной
толщины можно представить в виде
A Am р/д2 i"=0. .42)
