Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 106

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 165 >> Следующая

. ЛАТ ЛДГо
уравнения системы (31), умножить результат на sin - ¦ sin -- и и рои нте
г р и ропа (ь i го площади пл а сти п ы.
Нелинейность, начальные усилия, инерция сращения, сдвиг у99
1 результате получас юя уравнение дли определения фуакц.ш г (с): drz
-fTj- -f п4 (1 -1- г2)2 г -f- 3
- г ) -г \ г
-] =
• 0. (35а)
Результаты вычисления периода колебаний т в зависимости от безразмерной
амплитуды колебаний f) показаны на ряс. 6, а отношение >( максимального
полного напряжения к максимальному напряжению изгиба в зависимости от
относи-тел ыю ii а м нд и туды колоба н и й - на ркс. 7.
Эта задача рассмотрена Ху Нан Чу н Германом J29J.
Влияние начальных усилий в срединной плоскости пластинки. Пусть в
плоскости пластинки действуют усилия \'д, ,V2s Тогда следует i оспол
ьзоваться днфферс н циа л ьпымн уравнениями (10) сон v.cc i но с
выражениями (11). (12). В декартовой системе координат уравнение колоба н
и й будет
Dd, Дх' - ph -^7.- = - { iVn -f- A',o -г- J r-1 dt1 дх, \ 11 av, r
dxt )
Если усилия A'u, iV2s и "VjB удовлетворяют уравнениям
400
Колебания пластинок
то дифференциальиое уравнение колебаний запишется так:
m д. + * •?- н" -g- + 2*,"^ + *" -?|.. (36,
Пусть в прямоугольной пластинке, опертой по контуру (см. рис. 2), усилия
Nu11 Л"gg постоянны, а усилие iVl2 равно нулю. Тогда свободные формы
колебаний будут иметь вид
тлхл ппх0
Щпп - fnui sm - sm -.
а, аг
Частота колебаний о> в этом случае
-"'(т[(я+ф-(?+т)]Г *>
[ (r) ~ 2лгО ) ¦
Из формулы (37) вытекает, что растягивающие усилия повышают частоту
собственных колебаний, сжимающие - снижают.
Если хотя бы одно из усилий Л'п, Л;22 отрицательно и достаточно велико по
абсолютной величине, то часть частот, определяемых по формуле (37), может
быть равна нулю или мнимой величине. Амплитуды соответствующих колебаний
будут возрастать неограничешо. Это связано с достижением или превышением
критического значения по Эйлеру (пластинка теряет устойчивость).
Пусть две противоположные стороны - 0, хг - Gj) прямоугольной пластинки
оперты, а на двух других заданы произвольные краевые условия.
Решение дифференциального уравнения (36) при iVia=0; iVu - - const; -V23
- const удобно искать в виде
, , . ятя
и" = /(**) sin --S- .
Функция f должна удовлетворять уравнению
/" (т" + А- ( т* + 2т3", -(381
"I "; V к 1
Сопоставляя уравнение (38) с соответствующим уравнением при
9i = qs = 0
Нелинейность, начальные утлия, инерция вращения, сдвиг 401
можно убедиться, что уравнение (38) совпадает с дифференциальным
уравнением (39), если положить
т1 ~ тг 4- rq2\
"!, = + я' \'Ч I"2ш' (гчг - <7i)l (г = ¦
Следовательно, если известна безразмерная частота w*.* свободных
колебаний незагруженной прямоугольной пластинки с размерами о,*, са,
причем соответствующая фюрма колебаний имеет т полуволп в направлении оси
*lf то частота колебаний загруженной пластинки ш* может быть определена
по формуле
to2 = -if-1°2 + [2т2 X ' ai **
X (fl, - r\) - r4fl|] л4, где
< __ т-
тг+ггчг '
Зависимость параметра частоты
_1_
"Iй / рЛ \ * fl " л" V D ) 1'"С 8
свободных колебаний прямоугольной пластики, защемленной по краю Х\ - 0 и
опертой по всем другим сторонам, приведена на рис. 8 (<7j - q2 = q, т= п=
1). При произвольных граничных условиях применение метода Рэлея-Ри гца в
первом приближении (фюрмы колебаний ищутся в виде произпедений балочных
функций) приводит к формуле
/ п \~Т [ А\". А4" 2
(c)- Л3 ( - Г ) I ^ 1 5-1-2~о~ [vBimBiп Ml-v) CxmCjjnJ -
\ Р1 / I о, "j и\и-,
[
+ + (40| I а\ ! \
Входящие и формулу (40) постоянные А, В, С для различных гра-
ничных условий см. в табл. 6.
Влияние деформации сдвига и инерции вращения. Выше были использованы
уравнения и граничные условии классической теории изгиба плит, оснонанной
на гипотезе Кирхгофа-Лява. Предпосылки у гой теории оказываются
несправедливыми для высокочастотных колебаний, когда длина полуволн соо
гнете гнующих форм колебаний сопо-сганима с толщиной пластины.
Дифференциальные уравнения изгибных
Колебания пластинок
колебаний пластинки, полученные на основе отказа от гипотезы Кирхгофа-
Лива различными авторами, могут быть записаны в следующей общей форме в
декартовой системе координат х^х^г 11БJ;
,iM^L№ + ,) + ^ipa;
ЛО^МО
здесь к" - прогиб; ф и G - функции, определяемые формулами 2
, 12 Г . дф дО
*Г J "1г*=-5Г+-^г;
12 Г . Д'Г сМ *~~1? J а^-Т5Г
Выражения для компонентов смещения и, и "2 в направлении х, и х2
соответственно имеют вид
".-----<.г-/.(*¦" (*, - Ц-); |
иг = - (,г - f, (г)
(41)
Формулы (41) можно рассматривать как разложение компонентов смещения w,.
".2 по ортогональным функциям но ксординнгс г. Одержано два '1лена -
первый, учитывающий осрсдненаын поворот, и второй, учитывающий
искривление нормального элемента.
Напряжения в колеблющейся пластинке определяют по формулам
12 f.. . . . Г.. гч / tFw д2о.' '
Нелинейность, начальны*' усилия, инерция вращения, сдвиг 403
Ч.=-?{"..*+h W [All,-0(1 -V) ;
PG/i / дьи \
pOft / <3oj \
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed