Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Г\ 5,687 6,617
25,40 28,80 30,28
К более точным резулыатям прпнодит использонаиное Крис инее ном [27]
приближенное представление и.часгннки как системы ортогонально
расположенных балок. Результаты вычислений безразмерной частоты
2
для консольной пластинки, являющейся в плане прямоугольным jpe-
угольником, приведены в табл. 14. Дли сравнения приведены результаты
эксперимента и вычисления по методу Ригца (использовано первое
приближение).
Колебания пластинок других ifipsi
ЗУо
14. Приведенные частоты о>* = wa3 f-rjyj ^ колебаний пластинки, имеющей
форму прямоугольного греугольнпка <а, = а.
Метод определений Номер формы
¦ 1 ' о ¦ ! ^ 6
Эксперимент Разбиение на систему' балок Метод Рэлея-Ритца
.... 1,17 4,35 4,42 1C. 4 ic;s 1C, 9 23.0 23.0 23,7 39,3 I 53,3 38,9
53,6 43,5 | - 69,9 60,3
Клейном [33] рассмотрены колебания треугольной пластинки, опертой по
контуру.
Эллиптическая пластинка. Эллиптические координат определяются как два
корня квадратного уравнения спгосительно ч.
*т
= I
сч: i параметров Ламе упрощается, если внести новые переменные ;;ь и2 по
формулам
1 -(*!-"-*> .
I 2?2 - (С] -f- t'a)
?/8 2" arccOS '
Параметры Ламе будут равны один другому:
//{ = Hi - И1 - (eh "/, - CCS 2.72).
Линии //, -= const представляют собой эллипсы, а линии уг - - const - две
ветки гиперболы. Дифференциальное уравнение колебании пластинки
постоянной толщины в эллиптических координатах
б) дет
D& Ащ -J- (Л - Q'>
(30)
1
/Д.+-2Л
\ <й, й!'г j
Моменты А1п, Л122" Л112 н перерезывающие силы:
_а^е _
= 7/*"
| i V) U*, с..) / , " cto . dw \ '|
1 (1,1 ~sa, 11,1 т",) j ¦
396
Колебания пластинок
DT д-w &2w ,
4- (L-^ -fl (sh 2Vl
-- -^ [?к-ел^ (* * ж+sm * fr)] ¦
Общее решение уравнения (30) имеет вид
Wr Yi Ml"l Ce"> toi. S) Mm (Уг. I) + ^sm CPm fct, - |) X
>' сем (//a. -Л)) ^ [HsijtSem (j/lt ?)sewt(_yE, E) -{-Atm x
xsera (u" - ?) sera (i/" -1)1 + ? [flim Fey"(j/" |) cem №, s) -r
01=0
-I- Bun Fek/и (Hi, - I) ce,n (//2, - ?) -(- V| |Bsm Gey,n (jrt, g) X
X seftl (y2, J) - В4ЛGekm (yb - g) .sew (y2, - s)]'" (31)
здесь Ceel, ce/n> Sem, sem, Fey;n, Fekt,j, Gey л, Gekm - обычные и
модифицированные функции Матье порядка т\
Е ¦' зг<е* -fJ2 " У ТГ-
Для пластинок без цен фальши о отверстия постоянные Bkm следует положить
равными нулю.
Уравнение частот для эллиптической пластинки, защемленной но контуру,
имеет вид
|Ср,"(//,". 1)Се ("Ю- -y-^mUw- i)Ccm("№ -j)| •. х Е) (?/,". - Е)-
Se". ("in. 5)^,-5)1 = •'¦
ITS)
Первый корень уравнения (32) для эллиптических пластинок с полуосями а н
Ь и различным эксцентрицитетом е дан на графике рис. 5 (ре-
Нелинейность, начальные усилия, инерция вращения сдвиг 397
зультаты Шибаока [36]). Коллатц [13] методом Ритца в первом приближении
для основной частоты колебаний получил выражение
Г 10?Л / 1 . 2 1 ,]т
" [ 3PU-V) ("4 + ^ ' а4 )j ¦
ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНОСТИ, НАЧАЛЬНЫХ УСИЛИЙ В СРЕДИННОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ИНЕРЦИИ
ВРАЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ ПОПЕРЕЧНОЕО СДВИГА
Свободные колебания с большими амплитудами прямоугольной пластины. В
декартовой системе координат дифференциальные уравнеиия нелинейных
колебаний пластинки (16) принимают вид
d*w d*F дхх дх2 Ъхх дх..
1 иг I д~Ц| d-а-' ( д-и> \2
г* + ,ъ~;' a4 \ox,dxj "
О.
Первое уравнение системы (33) является дифференциальным уравнением
движения, второе - уравнением совместности деформации.
Граничные условия для прогибов, перерезывающих сил и моментов совпадают с
рассмотренными на стр. 373. Кроме того, должны бьиь поставлены по два
условия на каждом краю для функции напряжений F. Простейшими являются
углония для свободного края х, - ау:
- = 0:
а3*
дхх дхг
= 0
(*i =
i также для края с заданными усилиями &F = л . &F dxi ' 11 ' ЙТ**
U| = ?>l)-
Если на контуре заданы перемещения, то удобнее вместо уравнений (33)
использовать дифференциальные уравнения
(3-1)
398
К 0.1 f ПНИ 114 ПИ Hi riUlH<l.\
совчсспю с соотношениями упругости
.. ЯЛ . . Eh
Лц - д (?i I "Ь veKi)- Л'22 - j__________v2 (?аг 4- veXi);
л, Eh
е,2,
где
_ dui [ V ( dw \~ du2 , 1 / dw
e"-fcT + 'TlaJr; > ги~"а^_г"2"1 -Щ^) •
1 / ёил , du2 | dw dw \
Elz - 2 \ ck2 1 dt, de, * dx2 ) '
При исследовании свободных колебаний (9=0) прямоугольной ("1, а")
пластинки с опертым неподвижным контуром удобно искать решение в виде
разложения по степеням малого параметра 6:
= н<2>е2 + и<4)е4
Для определения u\k\ w^l) можно применить метод Б. Г. Галерки на R форме
П. Ф. Папковича. Пусть в первом приближении
/Ij л л, . . пх-,
w{ 4 - |3г (С) sin -- sin -- ,
1
где Р - безразмерная амплитуда колебаний; ? = / ^ \ t -
" \ р>щ I
безразмерное время.
Тогда интегрирование первых двух уравнений снегсмы (34) даст
р-г&п { 2ях0 . , о\ .
- f COS -= 1 -г vr* 1 sin -
Ll : - "" I vw - 1 I у I I OKI
1 16 \ ci2 / a, *
(м Р2г3л / 2лд.'. . . v \ . 2лдс2 / о,
\
пг - -т.- { cos 1 1 -f. -5- ) sin * I r = -!- J.
16 \ a, ' rl } a-, \ a.2 /
(35)
Далее следует подставить выражения (35) в левую часть последнего
