Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
прогиба в виде
х2', О - W (*i. хъ)еШ
дает
DAAW - рЛ W = д. (27)
Нагрузку q и прогиб tt;/ можно представить в виде рядов по свободным
формам колебаний, соответствующим заданным граничным условиям
Q= Si 9яЛи(*4, *2), W= У №,"/",(лх, х2). (28)
rtt*- 1 "г=1
Подставляя выражения (28) в уравнение (27) и учитывая, что свободная
<|юрма колебаний fm, соответствующая частоте ат, удовлетворяет
дифференциальному уравнению
DA &[т - phbr?nfm - О,
нетрудно найти связь между коэффициентами ряда
Vf' - От .
рА (о)2г - 0й)
Пусть формы колебаний оргонормированы, т. е. выполняются Равенства
а, аи
| J ftnfn dXy dx* = 6 щ/и
KoacOj ни ч п.шеи, чн-
где йтп - сичнол Кронеккеря Тогда а, аг Qm - \ \ Qlmi'-11 и V
Выражение для пропни запишется ык:
г.-1 * и
В случае опертой пластинки норм про"' •• ид го:-с вгнкые формы колейянин
б\дуI
Для сосредоточь иной силы Р в точке с координатами л-, - *уг. xz = ~ у2
ныражепис для прогиба принимав вид
Если амплшуда нагрузки q постоянна, -f <j с- ш' с;г* (.,*ляс .ся формулой
КЛХш 11.1 г,
Ы11 - Ь,1|----------
16де'в __________ _____________
л'1'1' "и ^
at, ii=1 . *.
(2S)
Если час sola 0 возбуждающей нагрузки приближается к одной из собственных
частот t"m, то амплитуда соответствующей формы колебаний неограниченно
возрастает (явление резончпгл) Исключением является случай цт -- 0
(нагрузка ортогональна некоторой (]юрме колебаний, работа внешней
нагрузки на о гоп форме колебании равна нулю). В этом случае нужна
осторожность, гак как чалое видоизменение внешней нагрузки нарушает
ортогональность Для огыгкання ограниченного решения в резонансной области
ол-дич учесть диссипацию энергии вследствие внешнего и (или) внутреннего
[рения При малом трении может оказаться необходимым применип нелинейную
теорию.
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИНОК ДРУГИХ ФОРД'
Пластинки, имеющие в плане форму параллелограмма. Днфферен
ииилыю< уравнение колебаний пластинки и косоугольных коорднна-Iих - Х| -
jc2 1ц"; ?_> *. see^ нмм i i>iir:
DA Да,- - p/i °У- ."
ot~
Вi > /к1', г;я * Л<дП.?<си \ будет
. . 'У о1 д- ,
\ • ;ес- а I ------ - 2 ыи а-------j-------- \ .
I. f^7 Щ--> '
При малых углах (SsgssC -иСТ) н первом приближении для -popмы колебаний
можно положить
fMf'? U,) ^(Е.).
где РЦ* - балочные фуимши для соответствующих крае пых условий. Формула
Рэлея-Ритца дает приближенное выражение для частоты
( D \Т| А"" Л<г>4
•"''""(тт) \^г+_^Г +
+ JL- Г(1 - V) C<;>C<?" + 2 ,rn> aC">tf> -
°la2
-L
- 2 sin "
Значения Л,п. B", n С,к сч н isfn. 6 Значения постоянных Dт п Ет ди.
р/пличных краевых условий приведены в табл. 10.
10. Значения постоянных Dn. и Е
Пн. ткниая
условия ' 3 4
S-C D - 8,1390 0 - ?5,696 0 - 52.130 0 -89,174 0
S -Г' D И 0,127-1 0.0901 0,0706 0.4998 0 0490 i'oooo 0,0374
1,0004
/.-С D L -0.79800 0 30,909 0 58,783 0 161,97 0
' -р V '• .,."024 8,7112 -41,062 1,4261 121, 10 2.00о:> 5647,0
1.9998
"мее ц;-.к о кие Ирин и'ж? нчя >'о vmuv Ртлгм-Рн mv пи иа'рммпра . л
I
( (>•' \ !
<"_ - 0,0. [ п )
392
Колебания плаипшия
ромбовидной пластинки при различных граничных условиях
i ! Граничные условии и*
0 13 .in 5
1' .16, 11 73,74 108,35 36,67 74,76 И 1.43 38,15 77,48 118,19
41) 08 81,06 126.84
'НУ 31,9В 63,66 71,43 32,54 64,76 72,40 34,09 67,68 75,04
36,11 71,47 78,46
НУ 27,19 60,69 93,13 27,84 61.73 95.74 29,52 64,48 102,59
31,68 68,06 111,14
3,494 8,647 3,360 8,278 2,971 7,643 2,412 6,88
12. Низшая частота tu. - ыа* | j трапецеидальной консольной пластины
Колебания пластинок других Фирм
.593
.. >я ромбовидной пластины получены Колом и КадамГюм [32]. Результаты
вычислений со* при v - 0,3 и при различных углах сс, а также ре-л тьтаты
вычислений Бартона [22] для консольной пластины (v ~ 0,3) гривсдены н
табл. 11.
Пластины, имеющие в плане фор- т-
му трапеции. Частоты и формы сво- I
бодных колебаний могу I быть пай- "?•
дены методом Рзлоя-Ри гца. Резуль-
[
"3
Уг~0 1
- с, - А *t,Vi
Рис. 3
да.' д*и> ду, difi
га>ы вычислений Кадамбом и др. [26] безразмерной частоili о>* для
ксксольной трапецеидальной пластинки даны н табл. 12
Колебания треугольных пластин. В этом случае удобен метод Ритцл. В
системе координат у1г уг (рис. 3) соответствующая система уравнении будет
JL Г Г |й Щ\г_ 4v, -Ла-
вс" J J ] \ Щ J Су, Си, су.
* i[ м т ¦¦'"- -I) (та)'+; 2г Sh fj-¦J[W+"''(l-v')-ra-S-1
- I. dyt dy; - 0
J
| u>* - oof j a: <* = ~: w' S cmf,lt (y,, y?)|.
Результаты вычислений Андерсеном [21 ] безразмерной частот го* свободных
колебаний консольной пластинки, имеющей и плане форму равнобедренного
(рис. 4, а) или форму прямоугольного (рис. 4. б) треугольника, приведены
в табл. 13.
394
Колебания пластиной
13- Частоты со, =(oai j ^ и формы свободных колебаний консольной
треугольной пластилкн при различных отношениях a=-^-i-
Фирма колсба-.нй a
2 A j К 14
О 7,149 7,122 7,080 7,068
ГТ::----- 30,603 30,718 30.654 30,638
61,131 90,103 157,70 205,98
1 * I I 148,8 259,4 493,4 853,6
Форма колсбакал о
7
