Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
центре, низшая частота будет
"-*>?(-?)*¦
Форм.] !%<."•-бани и определяется выражением (24).
В случае .V точек омирашш условия ракснства нулю прогиба в этих точках
даюг N однородных уравнений относительно N сил реакции. Из рлнсчс.па нучю
определителя эгой системы вытекает уравнение частот. Формы колебаний
можно получить, определив взаимосвязь сил реакции н ючках опирают.
Свободные колебания нрямоуюльиых пластинок с сосредоточь иными массами.
Нуоь 0 - собственная часюга колебаний опертой при ю-угольнон 1ыдс"пдки с
сосредоючешюй .массой т н точке - yL,
Ко.ибиния изотропных пластинок, прямоугольных в плане >85
х, = у-г- Тогда в точке приложении массы действует сила Pctfjl. Решение
такой задачи дано формулой (24). Решение дифференциального уравнения
движения .массы
СIt1
приводит к уравнению частот
, _ , (sinдй&л*
УЛР 1' _ \ \ °1 ) \ Щ )
4т
Если величина сосредоточенной массы т мала по сравнению с массой пластины
- /и*
- " 1. (25)
то приближенно можно записать
(biu^M!_y(slni^')2
га* \ с, ) \ й2 /
4 т
i 0 (и,, п., - 1,2, .. .):
отсюда приближенно П., ... = ",
и-
где
Ол (s) = 2 (sin nnlf-В случае .V сосредоточенных масс формула (26)
усложняется:
(26а)
При других граничных условиях и применении метода Рэлея-Ритца н первом
приближении может быть использована формула (26а). Значения функций ctf,
(?) при различных граничных условиях даны в табл. 8 [18].
Колебания прямоугольной пластинки переменной толщины. Дифференциальное
уравнение для определения свободных форм колебаний пластинки переменной
толщины вытекает из уравнения (4):
Lw - phtfw = 0.
П Злх. 1443
386
Колебания пластинок
8. Значения функции "л (?} дли различных угловий
5 -S s ~c i: _ -c - F
$ V.n пря n
1 2 1 2 | ' 2 1 1 | S
tl 0,00 0,00 0,00 0,00 LI, 00 0,00 0,00 0,00
0,1 0.10 0,69 0,31 0,84 0,04 0.21 o.oo 0,03
0 2 0,69 l,"l l'07 1.94 0,37 1,46 0 02 0,36
0,3 I 31 1,31 1,86 1,44 1,20 2,27 0,08 1,11
0 4 i.ri 0.69 2,27 0,18 2,12 1.07 0.21 1,87
0,5 2,00 0,00 2,09 0,33 2,52 0,00 0,46 2.04
0,0 1,81 0,09 1,46 1,74 2,12 1 07 0,85 1,39
0,7 1,31 1,81 0,72 2,23 1,20 2,27 1.38 0,40
0,8 0,69 1,81 0,21 1,15 0,37 1,40 2,10 0,02
0,9 0,19 0,69 0,02 0,15 0,04 0,21 2,97 1.10
!.0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0.00 4,00 4.00 ,
L = A (DA) - (I - v) I-
ксордиш :п (Я, - H й = П опера:op имей вид
>1 -/ i)D i)D - * \ 1
[ах, ( ах. dx Ox} J
d I i(r)_. (p dD P \ 1
dx2 \ dx2 ¦ Oxf " дх1 дхл dx. J
При определении частот и форы колебаний пластинок переменной толщины
проще использовать приближенные методы. Для защемленной по контуру
прямоугольной (--cij х<г гс: а о) плиты
можно применить метод Галеркина, задаваясь выражением для прогиба
,v
41 =¦ ^| АГц,,И)тп (ДГ|, д-2) -
= 2
т, и=]
или в другой нумерации
N*
w = 2С A№k {Xi, Хо). ft=i
Применение ортогонализации согласно методу Галеркина дсег /V*
2 А*Iй* - = о (f*= i. ....
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плене 387
ч ,есь приняты обозначения
Ol
v-ki = J j LwtfUl Лхх dxs; fW = | J phzokm dXy dx.,.
-"! -Ol
Из равенства нулю определителя полученной системы однородных уравнений
вытекает уравнение частот. Первое приближение даст
Если р - const, а толщина меняется по закону
¦¦го отличается от точного значения на 0,04%. Эта задача решена И. Я.
Велоцерковским в 1962 г. [3].
Метод сс-тк для исследования колебаний пластинок переменной голщины
применил В. С. Гуменюк [11]. R табл. 9 приведены выражения тля
безразмерного параметра частоты
ыютпетс жующие первой форме колебаний пластинки с линейно меня мщенсн
толщиной при различных краевых условиях.
то
"и = D0Ojo| {20,80 (oj + 0,57а|с| -J- я.*) -f
+ 11,86с [(I - 0.26v) ofo: (о; + 4) + 0.13 ("1 + "г)] |:
Р" =0,6(w"of [1 + 0.03с (ai + о^) -
- 0,002с" (nj -i- 0,79ojo| -1- o')] p/ic.
При вычислении рг1 предполагалось, что
При с ~ 0; о, = az; v - 0.16 отсюда получаем
1
сЗр/го)2 "= (9,5)aD '
Колебании пластинок
9. Частоты <0*1 =-~- |/ - [А" 4- ><г - \г (Ао - UjV - 4A,fcsJ °\
колебаний прямоугольной пластинки с линейно изменяющейся |h |дt-о " *
|л, о, =Л|) толщиной
Граничные условия Постоянные
*" _ J2 [ ( г2 Ь 2У + 1 - "0 _ -f 4 (S + vr*) ] = ^
t 0 1 '1 = !0[ (<* + -) {¦* - *(,) -4 !о]"!•
t2-ll[(r2+2)(J'+',) + -|-s5]-*2:
*3-4[('2+2f + 1+5i-4-5! 0^J - *3
*0 ~ *0 + 4 (l + so) ^о; *1 & *1 1- (' 'Y') ^'С'
1
*0 ~*0 + 4 (* + 5о) **0: к1~^[тт(1 ¦** So)
*2-b,+ 'f(|-'l)Xl: *" = s3'-" 4 0 - *l) *-1
1 1
^0 = *0 + " Г*Н- kl ~ *1:
k2^ ,{2+ - (' - Sl)*l:
*3*a + |t ,4 + 4 (j + si)] xi
1
Кояейацин изо/npi иных пластинок, прямоугольных в плане 389
Продолжение табл. У
Граничные уц-лосия Постоянные
О fc0 ^ \ + [т г* + 4 (! + so) J ?'0; *1 ^ *1 т ~Т (1 + *") Ai); ^-
*2+40" si) Ь4(1--i)]xf
Обозначения- -а ~ - ; - г; = 1+ -jj- К; = 1 -[¦ - j- Я; К % s° ¦" ; Sl яя
Л,
Вынужденные гармонические колебания прямоугольной пластинки.
Пусть на пластипку действует нагрузка, изменяющаяся по закону
0 =*(*1.
Подстановка в дифференциальное урав[1еиие движения (19) выраже-ния для
