Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
составлении дифференциальных уравнений движения, которые будут иметь вид
D ДАдо + p/i = q L {w, F); (16)
1
здесь А - оператор Лапласа; оператор L выражается в ортогональных
кринолинейных координатах следующей формулой:
/ f\- \ 1 д ( 1 \ 1 дНг ди>
J Hi дх, \ Hi 'dx, J ' dxs ' дх,
1 1 JL(-L dF \ -[ 1 дн* дГ 1
Ля.'*- J * '
Я* дх2\Нъ dx2J нфЪ dxl dx, J
J_r^L A/_L _?_/_! f^\1
2 1^ Ht ' dx2 ^Hl'tei) Hi' <>*1 ' Й** j I '
["! <*. ( "j 5;| + /(, *c, a"-, j J
I П Д / 1 Й1И\ ^ I дНч dw 1 L Нч dxs \ Hs дх2) Н\Н2 dx, dx,J
Г1 d_ /_!_ df; \ i ян. ЛРП
//, * dx, V ' dx,
Связь усилий с функцией напряжений F определяется формулами
N = 1 д f 1 &F\ 1 d//a dF
11 Н2" dx2 ^ //2' dx2/ '' //2/yJ ' dx, ' dx,;
l_ dF\ 1 дНу dF_
" //х ' dx, I, //, * dxj + НуЦ1 ' дхг ' dx2;
дг, L /JL.i?A 4-
2 I//, dx, (,,J дхЛ + ¦
j tb-.JL I_L ,'1F \ I и i ^ ill dXt) J
(18)
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных - плане 375
КОЛЕБАНИЯ ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИНОК, ПРЯМОУГОЛЬНЫХ В ПЛАНЕ
Дифференциальное уравнение колебаний пластины в декартовой системе
координат. Пусть срединная плоскость недеформированной прямоугольной
пластинки отнесена к декартовой системе координат *i. *2 (рис. 2). Тогда
коэффициенты Ламе будут Н, =Н2 = I.
Уравнение колебаний (1) при мет вид
D ДДк> рЛ -^у = q,
Д =?+;?. 09)
0x7 дзг
Пластинки, опертые по контуру. Собственные формы колебаний опертой
прямоугольной пластинки со сторонами at, ог удобно искать в виде
птЛ . л,т<>
ьу = щ sin -^xi sin -^*2 ("т. пи, = I, 2, 3, ,. .).
(20)
Выражение (20) удовлетворяет кинематическим и статическим ipa-ничным
условиям, которые для края х, = 0, аЛ имеют вид
w = М,, =0,
или
(Kw
W = у =0
dx,
Подсганляя выражение (20! в сравнение (191 пои л - О тлт-шш
Пластинки, опертые по двум противоположным сторонам. Пусть дне
противоположные стороны (х2 - 0их2 - а2) прямоугольной пластинки оперты,
а па двух других заданы однородные краевые условия типа
Lw - 0,
где L - оператор, в который входят только четные (или нечетные)
производные по х2. Тогда собственные формы колебаний пластинки постоянной
толщины можно представть н ниде
376
Колебания пластинок
здесь rnz~ 1,2.... - число полуволн с направлении оси х2; С1-4 -
постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий при а:, = 0,
хг = ai", постоянные а, р зависят от частоты колебаний
Будем обозначать С - защемленный, 5 - опертый, F - снободный края.
Уравнения частот для различных комбинаций условий на краях = 0 и хх - о,
буду'т
S - S: sin = 0;
5 - С: th otoj -j*-lg pa1! = 0;
S-F: с lhao( -6-j^tgpo, =0;
C_C (u,^--|u-J|L)x
С - F: 2(1-|- ab) -|- (o + b) cfi со, cos P^ -4-
~r - *"p") a??1 s'ri P"1 + ьТсН^) °-
/ a8 - vA2 p2 + vk2 \
\a " a2 - (2 - v) fc* ; p2 + (2 - v) *2 / '
Значения бечразмерного параметра частоты р при различных ipa-ничнмх
условиях приведены в табл. I (19. 28].
Колебания изотропных пластинок, прямоугольных в плане 377
1. Частоты р = --------- прямоугольной пластинки,
л* Da4,
опертой по сторонам *| = 0; с, <S-Sj при различных условиях иа сторонах
х* - 0, о.
S - -С 5- F С~ С С - F
at/a, р о, /о, Р Gj/Oj Р о2/с, Р
0,5 6,85 0,5 4,40 0,4 9.44 0,8 2,7
0,6 5,92 0,8 2,15 0,5 7,6" *.о 1,7
0,7 5,51 1,2 1,14 0,6 7,05 1,3 141
0,8 5.41 2,0 0,698 0,7 7,00 1,6 1,33
0,9 5,50 3,0 0,564 0,8 7,29 1,9 1,30
1.0 5,74 5,0 0,506 0,9 7,83 2,2 1,45
Пластинка, защемленная.по контуру. Задача об определении частот н форм
свободных колебаний защемленной го контуру прямоугольной пластинки не
поддастся решению в аналитической форме и может быть решена лишь
приближенными методами. Удобно искать формы собственных колебаний в виде
произведения балочных функции F,n (х), соответствующих балке с
защемленными концами
Wmn - С1ППГщ (X'i) Fп
Применение формулы Рэлея-Ритца дге| приближенное значение для частоты
собственных колебаний
п|-+>"-" [Ыж-.i'-^---^]}*-".
", = -j- . .
j J да7 dx,dXt Ь о
ели после интегрирования
+ 4 г^'
[ 1,566 (" = I) 1,2444 у[ГП = 1 )
1 - Вт = . / 2 \
|/н -1- 0,5 л"'{Ат-ц) ("122 2)
378
Колебания пластинок
Результаты вычислений безразмерной частоты
<"* = '*ч(т?)2.
полученные методом Эдмана [35], приведены в габл. 2.
2. Частоты U0J (ph/O)1'- собственных колебаний за щемленной
по контуру нримоугольной пластинки при различных отношениях сторон -ill-
"?8 - числа полуволн соответствующих форм колебаний)
а. т,
с2 1 2 3 5 6
[ 1 1,5 2 35,099 27,012 24,58 73,405 65,5 64,1 131.91)2 126 124
210,526 206 204 309.03S 303 302 428 422 421
г 1 1,5 2 73,405 41,715 31,833 108,237 79,81 71.08 165.023
138.64 130,35 242,66 218 210 340,59 316.11 308.12 458,27 436 427
3 1 1,6 2 131,91)2 86,533 44,779 1Ь5,023 103 83,2 280,06 161,234
142,38 296,35 241 221 393,36 339 320,12 509,9 457 439
4 1 1,5 2 210,526 100,81 63,34 242,66 136,096 100,80 296,35
193,24 159,49 371,38 271,17 238,35 467,29 369,34 337,08 593,8 488
456
" 1 1,5 2 309,038 114,21 "7,20 340,59 178 124,2 393,36 234,65
181,79 467,29 312 261 562,18 409 358,0 676 529 478
1 1,5 2 428 195 117 458,27 230,04 Ы,91 509,9 285,4 209,6
