Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 3" -> 100

Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 3 — М.: Машиностроение, 1968. — 568 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostustoychivostkolebaniyat31968.djvu
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 165 >> Следующая

Уравнение изгиба пластинки в ортогональной системе координат для
динамического случая. Пусть срединная поверхность изотропной пластинки
постоянной толщины h отнесена к ортогональной криволинейной системе
координат хгх2 (рис. I). Дифференциальное уравнение малых поперечных
колебаний в рамках гипотез Кирхгофа-Л ява будет
d2w
D AAw -г рh
dtа
(1)
здесь w-прогиб пластинки; D - Eh8
~12~(1 - v*)~ ишшвдРическая
жесткость; р - плотность .материала; q (x,t xs, t) - интенсивность
поперечной нагрузки; Е- модуль упругости; v - коэффициент Пуассона;
Г д 1 ( н, д > 1+^1 (Н, д М
№1 U.1 У Нг
Рнс.
обобщенный оператор Лапласа; Ht, Н2 - параметры Ламе.
Моменты Ма, М22, М12 и перерезывающие силы <?,, Q2 выражаются через
прогиб пластины w следующими формулами:
"ж г> ( L 0 ( 1 dw\ 1 dHi Ow
11 \Н, ' дх,\Н, ~dxt) ,1х-. дх,
Г _1___?_ / _1_ \ 1 дН2 dw 1| _
Л I Н2 дх2 \Н2 дх2) ^ ' дх, дхг J J1
_ D |_1________/ 1 dw \ 1_ dll^dw^
j /4 I, Нг * дх2) H*Hi ' дхЛ дх,
Г 1 .4-1 ( 1 ЙО, 1 I . 1 он, Ow 1|
L И, дх, ' { и, ' дх,J ' II,II] дх, дх, 1 j
Дифференциальные уравнения колебаний пластинок 371
.. 1-v п [Hi О j 1 (ЯШ \ д / 1 uw \ 1
2 j//, ' дх, ( 'дх, ) 1 И, 'дх, [//i
°1=/377Г^Ли: Va=;D7?:-aiA'"- (8)
Если толщина h квляек-я дважды дифференцируемой функцией координат х,,
х2. то дифференциальное уравнение колебаний примет вид
Г и, dD Г I da\
13* I [яГ dx. [ W2 dxs ' 4 H2 ' dxь)
1 б'//2 6w_ > dD / 1 ") / \_
~ТР{Н > ^*7 dii ) d& ( ~ih ' \ Hz ' <3*2 / ~~
_1 t)tft _ cto \ I ( ji)_ Г //^ _ dD_ I1 _1_ _d_ / <Ъ \
H\H &X* dx, ) ' ms H2 dv, ^ II, dx, \ H, ' dx, )
J____________dHx dw ч dD / 1 d / 1 da \
Iylli dxt ' dx2 ) дх, I H2 ' dx2 \ H, dx,/
1 dH2 dw
lUf/i'db'di*
bp**?=!¦ i4>
Связь моментов с прогибом выражают формулами (2). Связь перерезывающих
сил с прогибом принимает вид
^ 1 d #гл * v ж¦ - ( 1 dD Г 1 д { 1 <Зьу\
91 " И, 'й*, ( 0 1 [//, ' дх,1 И, дхв ( И, ' d*J ¦
I dll, die I_________ 1 dD Г 1 д /_I_ dw \ ^
7 И\Н., dx, dx, И, ' дх, I W, дх, \ Н2 dxg /
1 дН, dw
ir{H, а*2 'з*Г
t
' з ,г, * - , I > dD Г 1 д / I Л* \
- (Г, ' dr, <D Ли', (! v) jws 'Злг.^Н! ' йх,\Н, ' дх,)
1 дН, дш I 1 dD_ Г I _д_ / !_ Зш \ _
а*7 "7 3*1 "7 й*Дй, <5*,/
1 ,)Ht йю 11
_ Нгн( дх, ' дхг Г
(5)
Колебания пластинок
Граничные условия. На каждом краю пластинки M"v. ы оьпь задан о,ц|н из
четырех видон однородных граничных условий. Эти виды для края хх = const
определяются всеми возможными комбинациями следующих двух условий:
w ^0 или = (.S ту- -^v-= 0;
1 1 И, ^
-= 0 или М.. О
11аиболее распространенными являются следующие условия:
защемленный край
W - ~ ---= 0; (6)
""!
свободный край
О)
опертый край (условия Наиье)
ш - Л!,, _0. (.S)
Другие виды краевых условий (упругая заделка и др.) отличаются от
перечисленных тем, что для них краевые усилия (и момешы) могут совершать
работу на перемещениях пластинки.
В качестве примера более сложных граничных условий кошю привести условия
упругой заделки
[O + aOj -O; 5L-| р.*,!,, ="<). ,9)
где ", р - постоянные.
Уравнение колебаний изгиба пластинки, в срединной плоскости которой
действуют начальные усилия. Пусть в плоскости пластинки действуют усилия
К и, Л'з-з и Nn. Тогда дифференциал ьное уравнение из-гибных колебаний
пластинки будет иметь япд
D ААда рЛ (10)
здесь <?, 'приведенная награда, определяемая по формуле
Дифференциальна уравнения колебаний плшпииияс 373
ii.ni но формуле
9,=4+<Vu
I дНх ojj 1
//,//; Лсд * **
г Hi 0 и-"г 1 н.
И,, 'йхг | 1 ir'i ,tei дх, 1
-?)]¦
(12)
если усилия Лг0р удоплсюоряюг однородным уравнениям равновесия
Д)-У"н8) д t.v"jY.) л Kyjh_ N "Wj = 0.
<fv, 1 Jj;. 1 ' 12 <k2 ' 22 ,lv,
<> . d(,V"/l,l " ЙН, , " №. "
,1,7 T ,>7----*" гС+ v,a
Граничные условия (6), (8) сохраняют гнои вид. В грани шые ус ,и-вия (7)
вместо О* следует подставить выражение
°? = o-*..S--?-*.B7-?- С*"
Учет внешнего и внутреннего трения ери колебаниях пластинки.
Простейшая модель, учн/ынающая влияйте внешнего трения, основана на
гипотезе, что интенсивное jb силы внешнего трения </* пропорцио
нильна скорости прогиба в данной ючке = - 2k -у Ощгвстству-
клдее дифференциальное уравнение колебаний пластики постоянно" толщины
имеет вид
I- 2k^- pklg^Q. (И)
Из большого количества моделей, отражающих влияние вил грен ни с fjKЫ'.я,
простейшей н, по-видимом у, наиболее paciipociраненной ев-ляе1ся модель,
основанная на гтюгстс Кельвина, что силы внутреннего трения пмекн вязкий
характер.
Дифференциальное уравнение колебаний пластинки из такою ма (ериала имеет
вид
ОДд("+х^-)+(Л^^". Ц5
Коэффициент вяз кос I и к войдет также в выражения для момшто > н
перерезывающих сил.
Нелинейные колебания пл.хгинок. Нелинейные колебания могу г во шикнуть в
силу целого ряда р'.нлнчных причин (нелинейная упругость, нелинейное
трение иг н ) Здесь будет рассмотрена лишь нелинейность, свяынн.-.м с
большими прогибами, когда различием
374
Колебания пластинок
деформированной и недеформированной форм пластинки нельзя пренебречь при
Предыдущая << 1 .. 94 95 96 97 98 99 < 100 > 101 102 103 104 105 106 .. 165 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed