Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
слагаемого
Для установившегося поля формулы (17) приводят к решению (15).
Температурные напряжения в охла ждающем ребре. К телу с температурой Т0
присоединено тонкое ребро шириной b к толщиной h (рис. 3)
Поверхности х - ± ~ отдают тепло
в окружающую среду, имеющую температуру Тг. Напряжения в ребре
Or - Try -- aL. = 0: az = - Ea (T0 - Tc)
ch m(h - a-) ch mb 1
где m
; k - коэффициент теплопередачи; X - коэффициент теплопроводности.
Плоское напряженное состояние реализуется в тонкой пластине при
температурном поле, зависящем лишь от координат*, у в плоскости пластины.
В этих задачах
т*г = V = аг = 0,
20
Термоупругость и термопластичность
i функция напряжений Ф удовлетворяет уравнению
Д2Ф -J- аЕ&Т = 0, litf)
сличающемуся от уравнения (13) постоянным множителем перед сорым членом.
Следовательно, задачи о температурных напряжения* три плоской деформации
и плоском напряженном состоянии приводятся к одной и той же
математической проблеме.
Напряжения в тонком круглом диске при осесимметричном поле температуры;
тогда Т Т (г). Пусть диск имеет постоянную толщину. Напряжения в диске
радиуса Ь при произвольном тепловом поле
)
Trdr -
\ О О /
(-Г+^flWr + ^/lWr).
\ о о /
(S9)
Напряжения в диске переменной толщины определить более сложно [I, 3].
Для диска с отверстием напряжения оГ, можно вычислять по формулам (17),
предварительно вычеркнув в знаменателях множитель (I - V).
В случае установившегося поля температуры напряжения в диске (внутренний
радиус а, внешний - Ь) определяют по формулам
(20)
Ini- г ihlj.
а fc2 1 Г
a* J
m-L_. г
. ь In - а
где
с, = !- Еа (Г, - ту.
Напряжения ог> н диске меньше соответствующих напряжений в тр>бе в (1 -V)
раз.
Напряжения в круглом диске, вызванные источником тепла, находящимся в
центре. Источник тепла .мощностью Q, контур г=Ь диска имеет постоянную
температуру Т - 0:
Плоская задача термоупругости
121
где положено
- ?а(r) ч~ 4Хл h'
здесь h-толщина диска; % - коэффициент теплопроводности (17) Напряжения в
круглом диске при постоянной температуре границы
г --= Ь и потере тепла через боковые поверхности г - ± [17J;
/г {mb) Л (тг) 1 mb mr j 1
EaQ 1 •' 2k
2knhmbli (mb) ' m r kh '
здесь /i - коэффициепт теплопередачи; k, - коэффициент теплопроводности;
Q -количество тепла, подводимое к границе г - Ь в единицу времени; -
цилиндрическая функция первого порядка от мни\юго аргумента.
Напряжения ь бесконечной пластине с круговым отверстием при подводе тепла
вдоль контура отверстия и охлаждения через боковые поверхности |!7|:
Я Г Kj (mr) , jM.
г [ Kt (та) n г j '
*
0 X
* --. 1 "ч
Or
Рис. 4. Длинная колоса </ > М
Я Г тгК0 (тг) -{- /Сх (тг) а_
9 г I Ki (та) г
где q = - " а ~ РЯДНУС отаеРстия; Ко (mr), Kv (тг) - ци-
линдрические функции нулевого и первого порядка от мнимого аргумента.
Решения задач о напряжениях в осесимметричных пластинках при других
граничных условиях см. и работах (4, 17].
Напряжения в длинной полосе при одномерном распределении температуры
(рис. 4). Температура Т ^ Т (у)-, рассмотрим различные случаи закрепления
концов пластины х -- ±/. Во всех случаях cv ~ - тху - 0, отлично от нуля
ах
Концы пластины закреплены
сх - -EtxT.
122
Термоупругость и термопластичность
Концы пластины свободны Т (у) - Т (-у).
о, -- - Еъ
Т | Т (и) illI
Концы пластаны свободны, температурное поле несимметрично
<7, La
Т~ lb J I ТШЛу - (25)
Формулы (21) и (22) справедливы на некотором расстоянии от концов.
Напряжения в свободной пластине, симметрично нагретой по толщине.
Температура Т ~= Т (г), причем Т (г) - Т (-г).
Координату z отсчитывают от срединной плоскости к, у, толщина пластины
/I, пластина тонкая. Тогда ог - ххг - Туг = тХу ~ 0. а
h
2
ох = Су. Используя формулы закона Гука (2) и условие | ох dz - 0.
(23)
где Т - средняя температура по толщине пластины.
ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Общие уравнения. В цилиндрических координатах г, у, г (по оси вращения)
отличные от нуля компоненты деформации будут ди и ди> I / 0и
, ?foi\
f' W' ч- - ; Yr'^T(,dT
Компоненты напряжения тг(р = Тд,г -= 0. Диффереи циа.пьные уравнения для
перемещении имеют вид (Д - оператор Далласа)
и 1 <?е 2(l+v) дТ
г* + 1 - 2v ' dr " 1 - 2v а дг > 1 дя 2(1+ г) дТ
' + 1 _ 2v ' дг ~ 1 - 2v а дг '
(21.
Компоненты перемещения можно представить в форме дф дф
Осесимметричная задана термоупругоста
123
причем потенциал Ф (г, г) удовлетворяет дифференциальному уравнению Лф^
<м> Компоненты напряжения
Cz
^rz=4G
drdz 1 - 2v dr
(26)
где функция Ляна Y - би гармоничес к а я AAY = 0.
Источник тепла на поверхности полупространства, Начало координат помещено
в точечном источнике. Тепловое поле определяется формулой
T-w; *•='•+* *><>¦
где Q - мощность источника тепла. Напряжения имеют внл
= -2(1- V) ; ov=2(l-v)"(-p-L1--i-),
здесь
" _ r 1 + у "<?
4 1 - V ' 4 пХ *
Компоненты напряжения сГ, \Т2 равны пулю.
Температурные напряжения в шаре. Начало сферической системы координат г,
ф. 0 помещено в центре шара; температура является функцией только радиуса
