Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема о взаимности работ. На основе аналогии температурной задачи с
задачей о напряженном состоянии тела год действием некоторых
фиктивных объемных и поверхностных нагрузок теорема
о взаимности работ (22) гл. 2 переносится на задачи термоупругости.
Выбирая определенным образом силы и перемещения первого и второго
состояний, имеем
и (М) - За f Т (N) cix) (iV, M)dV (N). (11)
v
Цнг аналогичных соотношения имеют место для v (М), w(M). В этих формулах
N - произвольная точка тела; о,л* (Л\ М) - среднее давление в точке N,
вызванное единичной сосредоточенной силой, приложенной в точке М и
направленной параллельно оси х. Формулы (11) дают решение задачи
термоупругости, если известны функции Грина ст(дг) (Л', М), {N, М),
о^(Л', /И). Этот метод развит r рабо-
тах В. М. Майзеля [16].
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОУПРУГОСТИ
Плоская деформация имеет место в длинном цилиндрическом теле fc осью г),
если осевое перемещение w = 0. температура не зависит от координаты г, т.
е. Т = Т {х, у); внешние нагрузки считаем отсутствующими. Тогда
o,=v(o" + о,)- а?Т-. е - т^' <12)
Плоская задача термоупругости
117
Если длинное цилиндрическое тело имеет свободные торцы, то оно может
удлиняться и w 0. Напряжения, подсчитанные согласно формуле (12),
приводятся к осевому усилию Р и двум моментам Мхк МИ. Случай свободных
торцов можно получить, добавив к напряжению Ьг но формуле (12) напряжения
от сжимающей силы Р и напряжения от действия изгибающих момент он -Мх, -
Му.
Функция напряжений Ф
д2ф д-ф й2Ф
°Л ~~ д/г ' дх2 * Xj!v ~ дхду
удовлетворяет дифференциальному уравнению
А"ф S ~ - ЬТ~ 0 (13)
1 - v '
Если поле температуры стационарное, то А Г = 0 и тогда функция папряжений
является бигирлюнической. Нагрузку по боковой поверх поста можно считать
отсутствующей, следовательно, граничные условия для функции напряжений
будут однородными. Тогда в односвяэном цилиндре напряжения оЛ, о/Л тХ{/
равны нулю (для любого стационарного поля). Этот результат принадлежит Н.
И. Мусхелипшили [18].
В многосвязном цилиндре температурные напряжения ох, Су, ххи будут
совпадать с напряжениями в таком же равномерно Рис_ кольце °
круго'шм
нагретом цилиндре, подвергнутом пекоторой дислокации |17. 18].
Дислокации связаны с возможными в многосвязных областях многозначными
смещениями н имеют следующий смысл. Так, в двухсвязной области (рис. 1,
а) можно удалить тонкую полоску н затем принудительно вновь соединить
края разрыва (рис. 1, б); при этом в теле возникнут деформации и
напряжения. Эти напряжения, как отмечено выше, совпадают с температурными
напряжениями при надлежащем выборе характеристик дислокации.
Температурные напряжения в трубе при установившейся температуре.
Распределение температуры имеет вид
г = г1 + Т.-П1пЛ_ +
Н- 2 -г Ьпг я) cos -I- (c"rn -j- dnr ") sin л<р, (14)
где Т1г Г2, ап, bn, сп, dn - постоянные; а, b - соответственно внутренний
и наружный диаметры трубы.
118
Термоупругость и термопластичность
Осесимметричное поле отвечает первым двум членам разложения (14); тогда
Тх, Г2 - температуры соответственно внутренней и наружной поверхностей
трубы. Температурные напряжения
Or = С
гЧ-1
(15)
- 0; С =
Е<х (Т, - 7'з)
2(1 -V) *
Напряжение ог определяют- по формуле (12). Напряжения по формулам (15)
такие же, как при чистом изгибе разрезанного кругового кольца.
Соответствующая дислокация состоит в удалении радиального клина и
сведении краев разреза. Распределение напряжений для случаи 7\>0; Т2 - 0
показано на рис. 2. Для тонкостенной трубы напряжения Од,, ог на
внутренней и наружной поверхностях трубы: при г - а
aETi
<% 2(1-v) ;
°Ф - Г Ту
аЕТх
2(1 - v) *
Неосесимметричное тепловое поле соответствует в разложения (14)
бесконечной сумме. Напряжения зависят только от коэффициентов Ьх и dx:
Еа
2(1
+- <1, sin (f);
2 (I - v) a2
X (bx cos <p 4- Ai sin <p); Ea r / " c2 4- b2
x)' a2 -j- b2
X [bt cos <p -}- dx sin <p),
Ea
2(1
(IC)
- v) O2 -f- fe2 X (bx sin <p - dx cos <p).
Напряжение ог вычисляется по формуле (12). причем для температуры Т берут
в выражении (14) только бесконечную сумму.
Плоская задача термоупругости
119
Напряжения по формулам (16) соответствуют напряжениям в разрезанном
круговом кольце при изгибе силой. Пели тепловое ноле, кроме бесконечной
суммы, содержит еще первые два члена, то напряжения в тр\'бе будут
складываться из напряжений согласно формулам (15) и (10).
Случай произвольного о с е с и м м е тр и ч п о г о теплового поля Т - Т
(г). Формулы для напряжений имеют вид
а С
Г2 - о2 Г ,
¦I5
а/: __ ("1- У)Г*
-?±?jr"M jntr-Tr'
•хСТ _ 2\аЕ f ^ T-v (I - v)I
(17)
Эти формулы относятся к случаю плоской деформации (fz - 0) Для сплошного
ни шндра следует положить а - 0. В случае свободных торцов к ог следует
добавить напряжения равномерного сжатия так. чтобы равнодействующая
суммарных напряжений была равна нулю. При этом формулы для аГ, Оц, не
изменятся, а в формуле для о2 не будет множителя v в числителе нторого
