Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответствует упругой задаче. В представлении (52) гл. 3 целе-
сообразно удерживать число членов, обеспечивающее необходимую точность
решения упругой задачи. Квадратуры удобно находить численно. 'Ярн
определении "секу него модуля" G* можно непосредственно исходить
104
Теория ползучести
из опытной кривой. Сохранение той же формы решения в каждом приближении
(изменяются лишь коэффициенты с/и) упрощает вычисления и исключает
громоздкость результатов. Аналогичный метод применим н для разыскания
минимума полной мощности |71.
ЗАДАЧИ НЕУСТЛНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
В нагруженном теле в начальный момент времени возникают упругие или упру
го-пластические деформации. С течением времени напряженное состояние тела
вследствие ползучести будет изменяться, стремясь (при постоянных внешних
нагрузках) к состоянию установившейся ползучести. Точное решение задач
неустаиовиншейся ползучести по теории течения связано с большими
математическими трудностями даже в простых случаях. Вследствие большого
разброса экспериментальных данных, характерного для явления ползучести,
следует отдать предпочтение простым приближенным методам.
"Метод шагов". Система дифференциальных уравнений неуста-новившейся
ползучести содержит производные по времени первого порядка. Заменяя
последние разностными соотношениями, находят напряженные состояния в
последовательные близкие моменты времени. В этом "методе шагов" на каждом
этапе необходимо решить систему линейных уравнений 111 1.
Процессы приближения могут быть различными. Так, в одном из них
рассматриваемый интервал времени разбивают на ряд малых промежутков. В
каждом из них приращения деформаций будут линейными функциями приращений
напряжений с коэффициентами, не зависящими от времени, но изменяющимися
от точки к точке. Связь между указанными приращениями аналогична
уравнению Гука для упругого анизотропного неоднородного тела. В первом
приближении Для коэффициентов принимают значения, следующие из расчета на
предшествующем этапе нагружения. В дальнейшем эти значения уточняют
методом последовательных приближений 131-
Другая схема расчета - метод дополнительных деформаций - использует в
качестве исходной модели изотропное упругое тело с постоянными
коэффициентами упругости. Здесь приращения компонентов деформации
представляют в виде суммы приращений упругих деформаций и дополнительных
слагаемых - пластических составляющих. Последние вычисляют
последовательными приближениями (см. работу 13]).
Неустановнвшаяся ползучесть при заданных на" рузках. Напряженное
состояние определяют решением вариационного уравнения. Решение отыскивают
в виде
. гя-т^, + т(0 (т^ - т^). (34)
где ах, . . .. тхг - упругое распределение напряжений в начальным момент
времени; ол, . . ., тХ2 - напряжения в состоянии установившейся
ползучести; т (/) - искомая функция времени. Она оказывается равной
т - I - е (ЗД)
Задачи неустановившейся ползучести
105
где введено безразмерное время
/° -^10) ?1 (/) 2Я_
(36)
В случае степенной зависимости к подобия кривых ползучести
Q (0) - -
2
.V dV; //_ I //_ dV;
здесь Tt -интенсивность напряжений ох, . . %хг\ П^ -плотность упругой
потенциальной энергии разности напряженных состояний
К -~1Г Ка" - "ч) ("* ~ V) | _
+ ••• тбт^т-] .
Интегрирование ведут но объему тела V.
Следовательно, для решения задачи необходимо вычислить два интеграла Q
(0) и /7_ от известных функций. График зависимости (35) приведен на рис.
10 (сплошная линия).
. Согласно полученному решению состояние ползучести стечением времени
монотонно изменяется от начального упругого состояния к состоянию
установившейся ползучести. Приведенное решение дает хорошее приближение
для основных по величине составляющих напряженного состояния. Это решение
легко обобщается в случае отсутствия подобия кривых ползучести и
смешанных задач |7|
Релаксационная задача. Решение вариационного уравнения (23) ищется в виде
1,0 1,5 2.0 2.5 3,0
Рнс. 10- График функции т
= Р (0 ох- . . Тхг = р (0 тхг.
<37
Множитель релаксации р (/) ранен (ниже приводятся формулы для случая
степенной зависимости)
Р = 11 h (я - 1) <* Г"' ГДе введено безразмерное время
- xQ (/),
Причем
у. - i \ т- ' dV; 2//' X
(38)
(39)
Теория ползучести
здесь /7' - упругая потенциальная энергия тела r начальный момент 7 = 0.
Кривые релаксации при фиксированном гп вычисляют раз навсегда дли тел
любой формы. Для каждой конкретной задачи меняют лишь отсчет по оси
времени.
Пели отдельные части системы испытывают релаксацию независимо одна от
другой (распадающиеся системы), рассмотренным приближенный метод следует
применять к каждой автономной части системы.
Решение задач неустановившейся ползучести по теории старения более
просто, чем по теории течении. В силу приведенной ранее аналогии с
задачами теории упруго-пластически к деформаций (см. стр. 94- 95)
необходимо пронести ряд расчетов упруго-пластического состояния при
фиксированных значениях времени.
Расчеты значительно упрощаются при вариационном методе разыскания решения
