Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
ej - ф/, (Т(./)(Ох -о);. . yL = /• <т(. 0 I22)
В случае степенной зависимости
t
и №. I) = О (/) т*-'; О (/) = f й (<) dt.
Й
Другие теории см. в работах (5, 9, 21. 29].
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПОЛЗУЧЕСТИ.
ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
Система уравнений теории течения состоит из трех дифференциальных
уравнений равновесия (12) гл. 1, закона ползучести (19) и шести условий
совместности для скоростей (20) гл. 1. Внося в последние условия скорости
деформации согласно уравнений (19), получаем вместе с уравнениями (12)
гл. 1 систему девяти дифференциальных уравнешы относительно компонентов
напряжения. В общем виде эта система имеет сложный вид и здесь не
приведена. Уравнения системы содержат однократное дифференцирование по
времени.
Обычно встречаются следующие граничные задачи:
1) основная задача - на поверхности тела S заданы напряжения, постоянные
во времени;
2) релаксационная задача - часть поверхности тела Sp свободна от
напряжений, на другой части Sv заданы постоянные во времени смещения
(тогда на Sv скорости vx = vy = vz = 0): объемные омы отсутствуют;
смешанная задача - на части поверхности Sp заданы постоянные во времени
напряжения, на Sv - перемещения (т. е. vx - vv = vz - 0i.
В начальный момент времени t= 0 распределение на пряжен и it и смещений
упругое (или. если нагрузки велики, упруго-пластическое).
Уравнения ползучести
•99
Качественная картина течения такова: в основной задаче с течением времени
напряженное состояние изменяется, стремясь к некоторому установившемуся
состоянию (см. стр. 100); в релаксационной задаче напряжения со временем
падают (релаксируют). стремись к нулю Действительное распределение
напряжений сообщает минимум дополнительной мощности толп
по сравнению со всяким статическим возможным нстряпечным состоянием.
Интегрирование в зависимости (23) проводится по всему объему тела V.
Функция
(где / - характерная для данного металла функция; f - время) называют
плотностью дополнительного рассеяния. При степенном законе и подобии
кривых но щчести имеем
¦' - -('W+'. (S5)
т j- I 1
Вариационным принцип (23) выражает условия сило и i пости и его можно
рассматривать в некотором смысле как обобщение принципа Кастильяно.
При наличии пластических деформаций к потенциалу № в фор "уде (23)
следует добавить дополнительную работу [7].
Система уравнений теории старения не содержит производных повремени;
время t входит в качестве параметра. Для всякого фи ксиро ванного момента
времени имеем задачу, вполне аналогичную соответствующей задаче теории
упруго-пластических деформаций (гл. 3). Для решения последней применимы
методы последовательных приближений, численные методы, вариационные
методы (см. гл. 3).
В теории старения имеет место принцип минимума дополнительной работы
Здесь уравнение выписано для случая степенного закона и подобия кривых
ползучести. Так как уравнения теории старения совпадают по существу с
уравнениями теории упруго-пластических деформаций.
имеет место второй принцип - принцип минимума полной энер-ГИи [7],
характеризующий минимальные свойства перемещений.
есть плотность упругой потенциальной энергии, а
(24)
о
100
Теория ползучести
Система уравнений теория упрочнения имеет значительно более сложную
структуру, вследствие сложности соотношений ползучести (16) и (21). Дли
решения используют численные методы-
В теории упрочнения имеется вариационный принцип, характеризующий
экстремальные свойства действительного напряженного состояния.
УСТАНОВИВШАЯСЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ
В установившемся состоянии уравнения ползучести имеют вид
= / (Tl) Ххг
! = 2g(4i)
= g I'll) Чхг.
(26)
= / (ti) т, или Т| = g <Ч() 4i.
(27)
Функции / (т,-) и д (ij,-) определяют по опытным данным при растяжении.
Тогда Т/ -== ох, - V 3|* и согласно (27)
По кривым ползучести во втором периоде имеем
Следовательно,
/
ш-
I - ф (ЗД. °х -- Ф (1х).
"(ГзЩ
<Jjc
¦М
з^ ¦
где тi - интенсивность касательных напряжении; т}, - интенсивность
где Ь -
V з$,
скоростей деформаций сдвига; заметим, что -
= L.T1, - интенсивность скоростей деформации; г, -интенсивность
V о
напряжений.
Вариационные уравнения. Истинные скорости vx, Vy, vz сообщают минимум
полной мощности
L dV - А - ш1п.
(26)
где А - мощность заданных внешних сил:
А-
: f (Xvx + YvyA- Zvj) dV+ f (Xnvx 4- Ynvy+ ZnVg) с V Sp
Установившаяся ползучесть
101
Рассеяние
4f
L =
f tid'U = J g&l <IC.
В случае степенной зависимости В
и ч 1
Минимум разыскивают в классе скоростей vx, %, v2, удовлетворя-ющих
условию несжимаемости и принимаю них заданные граничные значения на части
поверхности Sv [7).
Второй принцип устанавливает экстремальные свойства истинных напряжений.
Из всех статически возможных нилряженных сиспшяний только истинное
напряженное состояние сообщает миничум дополни тельному рассеянию тела
А = f A dV = min. (29)
Дополните п.ное рассеяние
- l I (t) t <?.
При степенной зависимости
A -•
1
(30)
Обобщением известных теорем Кастнльяно являются следующие Теоремы.
