Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Методы решения этих задач приведены в работах (2, Н, 21, 23, 251.
84
Теория пластичности
ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
В тонкой пластине (толщина h), деформируемой силами, лежащими в ее
срединной плоскости х, у, возникает плоское напряженное состояние.
Основания пластины г - ± -g- свободны от нагрузок. .Можно принимать, что
компоненты напряжения о2, хХ2, хуг равны нулю, аол, ау. хху распределены
равномерно по толщине, т. е являются функциями лишь координат х, у.
Плоское напряженное состояние при условии пластичности Мизеса. Из общего
условия (3) получаем
+ °В - ахау + Зт;" -- о; (53)
илн в главных осях
о?+п|-
Это - уравнение эллипса (на плоскости переменных о4. оа). наклоненного
под
углом ~ к координатным осями (рис. 32)
шестиугольник Сси-Венана
Заметим, что | о, | -
2
Кз
|о,
< - - ог. К уравнению (53) следует присоединить дифференциаль-I 3
иые уравнения равновесия (45) и уравнении для скоростей vXl vy,
dvx
дх
di'y
ду
дих
dvy_
дх
6тА,
(541
2о*-Оу 2Оу - ох
вытекающие из соотношении Сен-Венана-Мизеса (13). Скорость г>
определяется из условии несжимаемости.
Система уравнений для напряжений может быть гиперболической,
параболической и эллиптической.
В случае гиперболической системы, отвечающей дугам эллипса АН, CD,
имеются два различных вещественных семейства характеристик.
Характеристики не ортогональны и образуют между собой углы. >и -ияющиеся,
вообще говоря, от точки к точке. Важное значение имеют случаи, когда одно
(или оба) семейство характеристик состоит из прямых линий (простые
напряженные состояния).
Параболическая система отвечает точкам А, В, С, D.
При эллиптической системе (дуги ВС, AD) решение уравнений связано с
большими трудностями.
Разрывные решения играют важную роль для областей гиперболичности и
параболичности. Разрывы в напряжениях и касательной составляющей скорости
аналогичны разрывам, рассматриваемым в плоской деформации. В плоском
напряженном состоянии существенное значение имеет новый тип разрыва -
разрыв нормальной составляющей скорости ("шейка"), приводящий к резкому
утонению (илн утолщению,! пластинки вдоль некоторых линий.
ч
V
Плоское напряженное состояние
85
Плоское напряженное состояние при условии пластичности Треска- Сен-
Венана. Трудности интегрирования уменьшаются при переходе щ условию
пластичности - const = т5. В связи с этим задачи лло ского напряженного
состояния решают большей частью при условии пластичности Треска - Сен-
Венана. На плоскости Оц, о2 вместо эллипса теперь будет вписанный
шестиугольник (см. рис. 32).
'• Необходимо различать два случая: в, и о& имеют разные знаки (ОцО^0)
цлй 0J и 0-2 имеют одинаковые знаки (0,0, > 0).
В первом случае условие пластичности,
, рсновные уравнения и методы решения ^ будут такими же, как в задаче о
плоской - Деформации.
Во втором случае (0ц0а0) условие '^ЛМастичпости имеет вид Oj - ±сг или =
±ог (прямые, параллельные осям ^координат, рис. 32): соответствующая си-
..:Стема уравнений параболическая м имеет -ИрЬстое решение.
Поле скоростей определяют согласно аакону ассочиироваиного течения.
Упруго-пластическое равновесие пластины с отверстием под действием
равномерного внутреннего давления (рис. 33). Напряжения в Иластической
зоне г zzc при условии Треска - Сен-Венана
0<е - о? ( ~2 'п j •
Так как напряжения по величине не превышают ог, пластическая зона может
распространиться до 1,65. В упру
гой зоне г^с напряжения будут
UIM
* t t t м
(к сТ
^34. Растяжение не-ничеиной ил истины 6- г отверстием
Рис. 33. Пластина с отвер стисм под действием внутреннего давления.
Распределение напряжений Ог. в упруго-пластическом состоянии
Распределение напряжений показано на рис. 30. Давление р = '** ~(Пг)г^
^ьОластичсскос равновесие растягиваемой пластины с круговым
"тИИрегнем (рис. 34). По схеме Треска-Сен-Венана напряжения
"ИГ
•t1- О, = О, ( I ; 0,-0,.
М.
Теория пластичности
р
N5^""
TS
'Р
круговыми надрезами рыми
Рис. 37. Растяжение квадратной пластины с отверстием
Растяжение полосы, ослабленной круговыми надрезами (рис. 35).
Коэффициент усиления q
, где Pfl -- 2fiorA - элементарная
предельная нагрузка (А-толшнна пластины), равен 126]: при 1,07
при > 1,07
q-~ 1 - 0,23-
Q - 1.15 -0,04-
Растяжение полосы с острыми надрезами (рис, 36). Коэффициент уенлеиия
(26J:
при 70° 32' ^ а ^
= .+(¦
при а ^ 70° 32'
1^3
Я
- 1j sin -1,154.
Растяжение квадратной пластинки с центральным круговым отверстием (рис.
37). Длина стороны пластинки равна 21, растягивающее напряжение р
равномерно распределено. Верхняя и нижняя граница
предельной нагрузки вычисленные энергетическим методом (см. оТ
стр. 70), приведены на рис. 38.
Осесимметричная деформация
87
Растяжение бесконечной пластины, ослабленной одним рядом
отверстий {рис. 39); растяжение на бесконечности равно р. Предельная
нагрузка ограничена неравенствами
I р*1
Рис 38. Верхняя п нижняя границы предельной нагрузки для растягиваемой
квадратной пластины с отверстием
