Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
решение системы трех уравнений (44), (45) для компонентов напряжения, а
затем исследуется поле скоростей.
Интегрирование уравнений для напряжений. Система уравнений (44), (45) -
гиперболического типа. Семейства характеристик ортогональны, совпадают с
линиями скольжения (линиями, касающимися в каждой своей точке площадки
максимального касательного напряжения) и определяются уравнениями
dy
!¦ (а); } (Р). (48)
лг-'66
где 0 - угол наклона касательной к линии скольжения а-семейства (рис.
12), Характеристический параметр | постоянен вдоль а-линии.
1] - вдоль |3-линии.
Сетка линий скольжения обладает рядом простых свойств, суще-стенно
облегчающих решение конкретных задач.
Плоская деформация
77
Нели в некоторой области одно семейство линий скольжения (например,
семейство а) образовано прямыми линиями, то вдоль каждой прямой линии
напряжения постоянны, а параметр *| имеет во всей области постоянное
значение (простое напряженное состояние).
Если в некоторой области оба семейства линий скольжения прямолинейны, то
в этой области напряжения распределены равномерно, а параметры 5 и rj
постоянны. Приведенные простые случаи полей скольжения отвечают
интегралам плоской тдачи.
Построение решений дифференциальных уравнений для напряжений сводится к
решению ряда граничных задач (задача Коши, начальная характеристическая
задача, смешанная задача и т. д.). Из решения задачи Коши вытекает, что
ноле напряжений у границы, свободной от
усилий, определяется только формой границы. В частности, у прямолинейной
свободной границы всегда будет поле равномерного одноосного растяжения
или сжатия. У круговой свободной границы поле скольжения образовано
логарифмическими спиралями, а напряжения дан и; формулами (28) при р = 0.
Численные и графические методы р е ш е и и г Решение граничных задач
достигается проще всего приближенными численными или графическими
методами [8, 18, 19, 20, 24, 25].
Линии разрыва напряжений. Важное значение имеют решения с разрывами поля
напряжений (простейший пример - пластический изгиб балки: при переходе
через нейтральную плоскость напряжение меняется скачком от о? к - ог).
Вдоль линии разрыва L возможен разрыв только для нормального напряжения
О/ (рис. 13) По условию пластичности скачок в о, равен
1^1 -<Y
-о, - 4 |/ А2 - т2 ,
(49)
где т" - касательное напряжение.
Определение поля скоростей. Система оставшихся двух уравнений (46), (47)
для скоростей vx. vy также янляется гиперболической.
(Яфичем ее характеристики совпадают с линиями скольжения. Вдоль Сг и Р-
линий скольжения выполняются соотношения Гейрингер
du - v i!0 = 0; dv + и do = О. (50)
гДе и, v - составляющие вектора скорости соответственно в направлениях а-
и 6-линий скольжения.
78
Теория пластичности
Линия раздела пластической и жесткой областей является линией скольжения
или огибающей линий скольжения.
Поле скоростей может быть разрывным вдоль некоторых линий А1. проходящих
по линии скольжения. Разрыв в составляющей скорости, нормальной к линии
М, невозможен (трещина). Разрывна составляющая скорости, касательная к
линии М.
Поле скоростей в пластических зонах должно быть согласовано со скоростями
движения жестких частей тела. Таким образом, ноле скоростей строится во
всем теле, а поле напряжений - лишь в пластических зонах. Следовательно,
определяемая при этом предельная нагрузка является верхней границей
(кинематически возможной нагрузкой, см. стр. 70).
Растяжение полосы с надрезами с круглым основанием (рис. 14). Отношение
пределыюй'нагрузки Р к предельной нагрузке ~ 4kh для гладкой полосы
шириной 2h называют коэффициентом усиления
Наличие материала выше и ниже выреза сдерживает пластическое течение и
повышает предельную нагрузку.
Рис. 14. Растяжение полосы с надрезами с круглым основанием
А ..V
В данной задаче при -
^(1+-г) 1г(1+"г);
А - V I
при - > е' - 1 а '
Ч = (1 + Y) - ("'' - 1 - у)-
При а - 0 имеем полосу с угловыми надрезами. Наибольший коэффициент
усиления имеет место при а - 0. у - т. е. для полосы
с разрезами (рис. 15), в этом случае q - 1 -+- .
Плоская деформация
70
Растяжение полосы с отверстием. Если отверстие достаточно велико, то
картина полей скольжения соответствует показанной на рис. 16. При этом q
= 1.
Малое отверстие практически не сказывается на величине предельной
нагрузки. Способы расчета полей вблизи отверстий другой формы см. работу
!20|.
Изгиб полосы с надрезами. Одно, сторонний глубокий над.
Рис. 16. Растяжение волосы с круглым отверстием
круговым основанием (рис- 17). При
7.<
< 0,64 реализуется поле скольжения с разрывом напряжения ov;
при :-:-"> 0,64 поле имеет изолированные линии скольжения. Коэф-. Л+й
Мт /./>
фициепт усиления q = -~ I М -
М V *
kh* ,
- -g предельный изгибающий
момент для гладкой полосы высотой Л ^ определяют по графику,
приведенному на рис. 18.
Двусторонние симметричные надрезы с круговым основанием (рис. 19) и
глубокие односторонние и двусторонние угловые надрезы (рис. 20-21).
