Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
sF j Sj
здесь f\t - niiTeji сиси ость скоростей деформаций сдвига для
кинематически возможной скорости v ; j - скачок в касательной
составляющей скорости (r)'. Знак равенства будет только и том случае, когда
v' -= v (при Sv ' 0).
Правую часть неравенства (31) вычисляют 17ри задании любого кинематически
возможного Поля -о', так как внешияя нагрузка на Sp задана.
Максимальные свойства действительного напряженного состояния. Рассмотрим
наряду г действительным напряженным состоянием оЛ, . . ., тхг статически
возможные напряженные состоянии текучести их тХ2.
удовлетворяющие только диф-
ференциальным уравнениям равновесия [(12) ГЛ 1 1. Рне- Ч. Условии
граничным мсловням на части Sp на поверх и net и
тела
<уд cos пх -г- хку cos пу | tV3 cos пг -= Хп; |
r"xy cos пх - \ су cos пу -f- тУг cos пг - Yn\ [
тдг cos пх + xyz cos пу -J- с '7 cos пг Z" j
я ие выходящие за пределы круга текучести Мизеса, т, е.
Т; ^ тг. (33)
Через X; обозначена интенсивность касательных напряжений тсчг-*>ра ох, .
. тхг. Напряжения ах, . . ххг могут иметь разрывы на некоторых
поверхностях внутри тела. Тогда мощность действительных *&*ерхностных сил
на заданных скоростях больше мощности, раззиваемой
70
Теория пластичности
поверхностным и силами, соответствующими любой другой статически
возможной системе напряжений, т. е.
\ (Knvx + YriVy + Z"vz) dS ;>
ig
=- f Кч+Чл, +z'a)'!S (34)
Знак равенства будет только в случае, когда напряжения ах, - -тхг и о", .
. т"г отличаются на однородное гидростатическое давление. Неравенство
(34) справедливо для непрерывных полей действительной скорости v. При
наличии разрывов [at] в касательной составляющей скорости v на некоторых
поверхностях S* правую часть неравенства (34) необходимо дополнить
слагаемым
^ f (tr ± т") i [t'il I dS-, i st
здесь т* - касательная составляющая статически допустимого напряжения на
поверхности S; в направлеинн вектора относительной скорости; знак перед
т" обратен знаку [tv |.
Правую часть неравенства (34) вычисляют при задании любого статически
возможного состояния текучести ах, . . \г, так как ол,
vyt ог на Sv задачи, а К,- С in вычисляют по формулам Коши (32) через
напряжения.
Энергетический метод нахождения предельных нагрузок. Для эффективного
применения полученных неравенств необходимы некоторые ограничения.
Примем:
1) на поверхности Sv vx - Оу- vz ~ 0;
2) на поверхности Sp нагрузки возрастают пропорционально одному
параметру, т. е. Хп - mX^n, Yn - Zn = где A(r), V^t Z(r) -
некоторое фиксированное распределение нагрузок на Sp.
Значение т ~ тф, при котором достигается предельное состояние, называют
коэффициентом предельной нагрузки.
Кинематически возможным коэффициентом, называют величину
fч'dv + ? f |НИ
v i Si
mk - tT -ц-------------------------- , 135)
вычисляемую по выбранному кинематически возможному полю скорости v'x, vy,
vz во всем теле. Пусть, далее, do всем теле построено статически
возможное напряженное состояние текучести о^., . . тдг. удовлетворяющее
следующим граничным условиям на Sp:
К="'Х". к;=те 1г;=(tm),г". <.%>
Общи? теоремы и методе! решения
71
Число /"s называют статически возможным коэффициентом.
Из приведенных выше неравенств для жестко-пластического тела вытекает,
что
tns sg: m* ^ m*. (37)
Подходящим выбором полей vx, vy, v2 и сх, . . ххг можно сблизить
Верхнюю и нижнюю оценки и получить значение предельной нагрузки с
достаточной точностью.
Пример. Найти верхнюю ir нижнюю границы предельной нагрузки дли
растягиваемой полосы с круговыми вырезами (рис. 10. ") в случае плоской
деформации, Верхняя граница: от круговых границ распространяются осесим-
Рис. 10. Растягиваемая полоса с круговыми вырезами: а - размеры политы; б
- кинематически возможное поле: в - простейший вариант статически
возможного поля; г - более сложный вариант статически возможного полз
метричные поля скольжения 1рис. 10. б) По сечению у =* 0 напряжение -=* =
2тг^1 + In ~ j. Части полосы выше и ниже пластических зон остаются
жесткими и движутся с некоторыми скоростями V, задание v полностью
определяет скорость в пластических зонах. Следовательно, во всей полосе
построено кинематически возможное поле. Соответствующая нагрузка 2а
Р/г = 2 j а у dr = 5.Б5аТг
будет верхней границей. Нижняя граница: возьмем простейшее поле
напряжений. показанное на рис. 10, с: в заштрихованной области -
одноосное растяжс-**е Gy = 2тг; в незаштрнхооанных частях напряжения
равны нулю. Отсюда 'Шжняя граница Р& = 4ах^ Для улучшении оценки возьмем
статически возможное поле, изображенное на рис. 10, г. В каждой из
заштрихованных зон ¦мает место равномерное напряженное состояние, не
нарушающее условия
Гучести; в верхнем и нижнем прямоугольниках - одноосное растяжение,
•"заштрихованных зонах, примыкающих к вырезам, напряжения равны *улк>.
Точки А, В произвольны; меняя их, находим наибольшее значение сга-
ТОчески возможной нагрузки = 5,U4trt. Следоаателыш, 5,04 < -~ < 5,16.
г
Теоремы о приспособляемости упруго-пластических тел. С рассмотренными
