Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
где
В случае упрочнения уравнении (8) устанавливают однозначную
зависимость приращений компонент деформации от напряжений и
их приращений. Уравнения (8) применимы при dx j > 0. При dtj sg: 0
происходит разгрузка.
Уравнения пластического состояния
63
Теория пластичности Сен-Венана-Мизеса. Жестко-пластическое тело.
Использование уравнении (8) для решения конкретных задач связано с
математическими трудностями, так как эти уравнения нелинейны и имеют
сложную структуру. При рассмотрении развитых пластических деформаций
можно пренебрегать компонентами упругой деформации; отбрасывая последние
в уравнениях (8) для состояния те-jqptrcmu, получим (после деления обеих
частей уравнений на дифференциал времени dt)
Ь = (о, - о); . •)" = 2).'т,".
где множитель
~ (°хЕдГ ~ GyCy -f- • • - -f- Тхгг\хг)
(11)
(12)
пропорционален мощности пластической деформации. "Время" t введено
"уравнения (11) для удобства; I может быть физическим временем пли
-5 Жес г ко-1 глас тичес кая схем,
каким-нибудь монотонно изменяющимся параметром (например, параметром
внешней нагрузки). Исключая в Л.' компоненты напряжения с помощью
зависимостей (11), находим
№ t]f - интенсивность скоростей деформаций сд-шга.
Следовательно. уравнения (11) можно еще представить так:
ох -
Ч?
(13)
Уравнения Сен-Венана-Мизеса по сути дела исходят из схемы жестко-
пластического тела, получившей в последние годы значительное развитие. В
этой схеме полностью пренебрегают упругими деформациями. Вместо кривой
деформации с упругим участком (рис. 5. а) Рассматривают кривую деформации
с одной лишь площадкой текучести (рис. 5,6).
Жестко-пластическая схема приводит к прием течому решению, •ели ничто не
сдерживает развития пластических деформаций.
Подобно схеме жестко-пластического тела (характеризуемого площадкой
текучести), иногда вводят схему жестко-упрочняющегося тела \Рис. 5, е).
64
Теория пластичности
Теория ynpyi о-пластических деформаций, предложенная Генки и Надаи,
использует конечные зависимости между компонентами напряжения и
деформации, т. е. зависимости, аналогичные по структуре закону Гука.
Предположении 1-4 теории пластического течения сохраняются. Предположение
5 заменяется другим: компоненты пластической деформации пропорциональны
соответствующим компонентам девиатора напряжения.
Тогда вместо уравнения (9) получаем уравнения Генки е = 3fecr,
е* g- F =" ф (стл - ст); . . .; v" =
где ф - некоторый скалярный множитель, причем
2
у2- = 2фт- или в| = -^-фО?. (15)
В случае упругого тела ф - и уравнения Генки переходят
в закон Гука; здесь i[ = Gy*, а приращение работы деформации dA является
полным дифференциалом упругого потенциала №'.
В случае идеальной пластичности выполняется условие Мизеса
т,-const =т,: (16)
Здесь также существует потенциал работы деформации
" = -gg- + VK. (17)
равный сумме энергии упругого объемного сжатая и работы изменения формы
т7у/. Компоненты деформации не являются однозначными функциями
компонентов напряжения.
Разрешая уравнения (14) относительно напряжений, находим
ол - с = ("л-I-6); • ¦ ¦; vl'v"- (|8)
Заметим, что -== .
ft
Напряжения, представленные этими формулами, - однозначные функции
компонентов деформации и тождественно удовлетворяют условию текучести
Мизеса.
В состоянии упрочнения выполняется условие улроч нения; оно принимается в
простейшей форме (о). Множитель ф является функцией интенсивности у/ (или
т?). Тогда уравнения Генки (14) онреде ляют взаимно однозначные
зависимости между напряжениями и деформациями.
Осесимметричные упруго-пластические задачи 65
Потенциал деформации имеет вид
в* Г
" = -0jr + I eiyoyi dyi-
(19)
Во всех случаях справедливы формулы Лагранжа
и условие разгрузки: если dTj 0, то происходит упругая деформации по
закону Гука. Уравнения теории упруго-пластических деформаций -
нелинейные, но благодаря относительной простоте (по цтавнению с
уравнениями теории течения) они нашли широкое применение, несмотря на
некоторые принципиальные недостатки.
Уравнения теории упруго-пластических деформаций являются уравнениями
нелинейно упругого тела.
Использование эгих уравнений для описания пластических деформаций при
сложных нагружениях может привести к неудовлетворительным результатам.
Уравнения теории упруго-пластической деформации н полной мере описывают
пластическую деформацию при простом нагружении и пригодны для решения
практических задач при воздействии достаточно простых нагрузок
Более общие чаконы пластического течения см. в работах J12, 16. 24, 251.
Полый шар под действием внутреннего давления. Вследствие симметрии сдвиги
уГ([, уГ0 и касательные напряжении xr(f, т^, тг1, равны нулю, а Вф = в9,
Сф = ои; имеет место простое нагружение. Для Давлений
где а, Ь - радиусы шара (рис. 6); р - давление; шар деформируется упруго,
и напряжения будут
При р >* р0 возникает пластическая зона а-^г^с.
При идеальной пластичности условие текучести имеет вид
НЕКОТОРЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
