Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
При таком выборе функций напряжений уравнения равновесия (67) в Условия
совместности (70)-(72) удовлетворяются тождественно, и-. _ с н 0 в н ы е
г раничные задачи. При решении плоской за-"ВД моментной теории упругости
возникают три основные граничные
54
Теория упругости
1. Найти упругое равновесие среды по заданным усилиям
(напряжениям Хп, Уп и моментиым напряжениям р.л),
действующим на гра-
нице рассматриваемой среды, т. е.
Хп - ох cos (п. х) 4- Хух cos (л. у):
Уп - тКу cos (гг. х) 4- а у cos (п. у): (76)
Мп = Ил COS (л, х) -Г И// COS (л. у).
При решении задач о концентрации напряжений около отверстий на контуре
отверстия задаются в полярных координатах нормальные о>, касательные тге
и моментные рГ напряжения.
2. Определить напряженное или деформированное состояние тела по заданным
па его границе компонентам и, v, вектора перемещений и
и компоненте вектора вращений <о.
В полярных координатах на Контуре отверстии задают радиальное V, и
тангенциальное перемещения и вращение ove.
3. Смешанная задача. Найти упругое равновесие тела, если на одной части
его поверхности заданы усилия Хп, Уп и рл, а на остальной части
перемещения и, v и вращение ю*.
Возможна постановка и других смешанных задач (171, например различных
"контактных задач".
Приближенный метод решения задач о концентрации напряжений около
произвольных криволинейных отверстий. Известны точные решения задач о
концентрации напряжений около кругового отверстия (как свободного, так и
подкрепленного), находящегося н однородном напряженном поле (простое
растяжение, чистый сдвиг, чистый изгиб). Для отверстий некругового
очертания пережпньге н решении уравнения Гельмгольца не разделяются и
задача допускает лишь приближенное решение. Наиболее эффективным оказался
"метод возмущения формы границы".
Пусть функция
г=в>(?)= И (?+ "/(01 (77)
осуществляет конформное отображение плоскости ? с отверстием единичного
радиуса па бесконечную плоскость г с отверстием заданной формы.
Здесь R, е и / (?) характеризуют размеры и формы отверстий.
Из выражения (77) следует
Г = = К V р* + * Ш (?) -|-С?(0] + е*п;>Ш:
tOfTm.
в = arctg 2--------------------- ; (76)
ЧЕНи'елию! '
где Р - угол между радиальным направлением и нормалью к контуру
на плоскости г.
Дополнительные сведения по плоской тдане
55
На основании соотношений (78) предполагается, что все величины, зависящие
от г, 0 и (5, можно разложить в ряд по степеням е. Следовательно,
компоненты напряженного состояния в естественных криволинейных
ортогональных координатах представимы в виде
<">
*=о fe=0
Для k-ro приближения имеют место формулы
= К+ 2 \ АГ"Чга> н Ч"-"' КГ' - :п -I-
т-О L
+ 4-tf-'>(^'+4?)]; (80,
rf'-(•"' + V [if-"Sr mvr'|.
гп=о
"i'( = т? I & u*'(p- *> -+ Wm [ T F" "'• *>]};
тй'[y'-'ttp- *>]-
+ *>};
*18 =-^le^r[irL''(pe)]"^l?*(p' *>}>
~R ' p fW f'! ,P- ft>
.функции (7* и Ffc являются ft-м приближением в разложении реше-а
Уравнений (74) н ряды по степеням е.
(8>)
56
Теории упругости
В формулах (80) L(* m) (i - I, 2. . ... 5) - некоторые дифференциальные
операторы, зависящие от вида функции f (?) III]-
Ввиду линейности задачи компоненты напряженного состояния можно
представить н виде
*5 = ч- v • • •; i4 -- i*o i*e-
Здесь oj|. .... - компоненты основного напряженного состояния,
Ор, .... |1ф - компоненты дополнительного напряженного состояния,
вызнанного наличием отверстия.
Граничные условия для первой основной плоской задачи имеют вид
°р+ Se*aift> (fl-
+ 2 еЧ" - к ("• о-. (831
k-Q
MS+iw-м", о-
Л=0
Следовательно, длн определения напряженного или дирормирован-ного
состояния около криволинейного отнерстия необходимо знать вид
дифференциальных операторов входящих в формулы (80) и
зависящих от формы отверстия, а также основное напряженное состояние,
характеризующееся компонентами о(r), . . .. fig. Наконец, из граничных
условий (77) определяем неизвестные коэффициенты искомых функций
напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александрии Л. Я- Некоторые зависимости между решениями плоской и
осесимметричной задач. Доклады АН СССР Т. 129, Л(r) 4. М . над-но All СССР,
1959
2. Г а л к и Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.. ГИТТЛ.
1953.
3. Кац А. М. Теория упругости. М.. ГИТТЛ, 1956.
4. Лс-йбснзо и Л. С. Курс теории упругости. М, ГостсхиздаГ.
1947.
5. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости М.,
Гостехиздат, 1943.
6. Л е х н и ц к и й С- Г. Теории упругости анизотропного ic.'w. М ,
ГИТТЛ. 1950.
7- Лурье Л. И. Пространственные задачи теории упругости. М.. ГИТТЛ, 1955.
8. Л я в А. Математическая теория упругости. М , ОНТИ, 1935.
9. М и х л и н С- Г Вариационные методы а математической физике М.,
ГИТТЛ. 1957.
10. М у с х е л и ш и и л и Н. И. Некоторые основные задачи
математической теории упругости. М.. иэд-во АН СССР. 1966
Литература
57
It Ми нд-п и и I Д Влияние цементных напряжений пи кин центра цию
напряжений. Сб. "Механика*. М.. "Мир", .Vs 4 1964
12. Н а й Д. Физические свойства кристаллов. М . ИЛ. 19GD.
