Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
нанесены вектор-момеиты. Если в сечении с координатой х действует момент
Мх dy. то в соседнем сечении, имеющем координату
х -f dx, будет действовать момент dy. Аналогичные
приращения получают остальные компоненты моментов и поперечных сил.
530
Изгиб и осесимметричное растяжение плзспшнок
Срединную плоскость мы считаем недеформируемой; поэтому суммы проекций
сил на направления хну тождественно равны нулю.
Уравнения равновесия элемента в проекциях на ось z и н моментах
относительно осей хну после простых преобразований приобретают вид
-S-r-^-Ч.-о- си,
Из уравнений (19)-(21) находим
^+*#+4^- 1221
Пользуясь выражениями (12), (15), а также (4), (6), приходим к
дифференциальному уравнению изгиба жестких пластинок
(23)
= д, (24)
где у4и = у2у2иу; ув - ----двумерный оператор Лапласа.
Граничные условия. Интегрирование уравнения (23) следует вести с учетом
граничных условий. Рассмотрим некоторые из вариантов таких условий.
Шарнирно опертый край. Допустим, что один кз краев, например край х - О,
шарнирно оперт. Тогда прогиб и изгибающий момент вдоль края
И*=о = № (25)
(yil^ = -D(^-+v^-)=0. ,26)
Но условие (25) означает, что вдоль края х - 0 одновременно =0.
Следовательно, условие (26) перепишется в виде / \
Прямоугольные пластинки
531
Край х = О защемлен. Прогиб и угол поворота в точках края должны
равняться нулю:
(!"),=" = 0. (28)
MrL.=°- <29)
Пластинка скреплена по краю х = О с упругим ребром, имеющим изгибную
жесткость EJ. Одно из условий сопряжении соеюи 1 в равенстве прогибон:
щ, - (т)Л=<|, (30)
здесь wp - прогиб ребра. Второе граничное условие запишется в виде
дифференциального уравнения изгиба для ребра
"-7S^ = "*- <31>
где Rx - погонное усилие, передающееся от пластинки на ребро, равное
реакции со стороны ребра.
Крутящий момент И, действующий на элемент кромки пластинки, можно
представить в виде двух статически эквивалентных сил, которые могут быть
рассмотрены в сочетании с вертикальными поперечными
силами. В результате находим, что приходящаяся на единицу длины Контура х
= const сила давления R (х) со стороны пластинки будет
Kx-Qx (32)
Rx
[CrW t)4t?i 1
<ет>
тогда условие (31) приобретает вид
.... d*wp Г d3w &*w I
tJwL=-Dli?+,2-viwL- ,34)
Край л - 0 свободен. Граничные условия будут
(^>л=о = 0. (33)
= 0 (36)
?
532 И.чгиб и несимметричное растяжение пластинок
В дальнейшем для определения граничных условий на схемах пластинок
приняты обозначения, показанные на рис. 5.
a) I) I) '¦)
Рис 5. Обозначения условий на краях пластинок а- защемленный край. 6 -
шарнирно опертый край, о - свободный край: г - упруго-опертый край
Расчет прямоугольных пластинок
На пластинку (рис. 6) действует равномерно распределенная по всей площади
нагрузка; b Прогиб в произвольной точке пластинки [13]
4 дах
nbD
S М'
Ltli gM i- 2 2а,"у
2 ch От b
- o-.
t
-h
4
2 ch am b b / a
тай
~2tT;
(39)
(40)
D - цилиндрическая жесткость по формуле (13). Изгибающие моменты
, " / тпу , тпу 2\ , пту \ | . тлх ....
+ а(tm)( - Л------------ ch-)JSm-; (41)
U" = v _ (1 - v) WW
+ B,
(тпу . тлу , 2 , тли \ 1 . тлх -.
sh -f ------------------------ch - ) sm , (42)
a c l -v a / a
2{am\ham + 2) 2
льт(r)с11ат ' °m~ ^cho",' {)
//рямоугольные пластинки
533
Изгибающие моменты, действующие по линии у = 0, определяют
по формулам
т-\. 3, Б,...
тпх ....
X sin------; (44)
а *
(А"Л=0 = v 'V* ^ ~ <fa8''1'i 2 m2[2B'" + (l-v)A,"]slr^.
т=1,3,5,____
(45)
-Для вычисления моментов можно пользоваться формулами
(ЛЦм, = Cl4cfi (Л1")й=0 = С2(?а2. (46)
Значения коэффициентов Clt С? даны в табл. 1.
!. Коэффициенты С, и С* для изгибающих моментов шарнирно опертой
прямоугольной пластинки под равномерным давлением q ib^Q', у =С; V = 0.3)
ь С, при x Сt при x
0,1" 0.2a 0.3a 0.4a 0,5a 0,1л 0.2л 0,3a 0.4а 0.5a
1.0 1>,0209 0,0343 0,0424 O.iHdG 0,0179 0,0168
0,0303 0,0400 0.0459 0.0479
1.1 0.0234 0,0369 0,0486 0,0541 0,0554 0,0172
0,0311 0,0412 0.0475 0,0493
1.2 0.0256 0.0432 0,0545 0,0607 0,0627 0,0174
0,0315 0.0417 0.0480 0,0501
1Д 0,0277 0,0472 0,0595 0,0671 0,0694 0,0175
0,0316 0.0419 0.0482 0.0503
1.4 0.0297 o.teos 0.0649 0.0730 0.0755 0,0175
0.0315 0.0418 0.0481 0.0502
1.5 0,0314 0,0544 0,0695 0,0783 0,0812 0,0173
0,0312 0.0415 0.0478 0,0498
1.6 0,0330 0.0.572 0,0736 0.0831 0,0862 0.0171
0.0309 0,0411 0,0472 0,0492
1.7 0.0344 0,0599 0,0773 0,0874 0,0908 0.0169
0,0306 0,0405 0.0466 0.0486
1,8 0,0357 0,0623 0.0806 0,0913 0.0948 0,0167
0,0301 0,0399 0.0459 0.0479
1.9 0.0368 0.0644 0.Р8Л5 0,0948 0,0985 0,0165
0,0297 0,0393 0.0451 0.0471
2.0 P.0378 (1,1)663 0,0861 0,0978 0,1017 0,0162
0,0292 0.0387 0,0444 0,0464
2.5 0.0413 0,0729 0,0952 0.1085 0,1129 0.0152
0,0272 0.0359 0.0412 0.0430
3,0 0.0431 0,0763 0,1000 0,1142 0,1189 0,0145
0,u258 0.0340 0.0390 0,0406
4,0 0.0445 0.0791 0.1038 0,1185 0,1235 0,0138
0.0246 0.0322 0.0369 0,0384
CO 0,0410 0.0800 0,1050 0.1200 0,1250 0.0135
0,0240 0,0315 0.0360 0,0375
Изгибающий момент по средней линии х = -
