Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
где P# = V З&гта2; М* = -g- knd1 - предельные усилие и момент
соответственно для простого растяжения и кручения.
Упруго-пластическое кручение. При кручении стержня из упругопластического
материала (см. рис. 1, 6) для крутящих моментов, меньших предельного М^,
в сечении стержня, наряду с пластическими зонами, будут и упругие зоны. В
упругих зонах функция напряжений удовлетворяет уравнению (31), а в
пластических - уравнению (33). Аналитическое решение упруго-пластической
задачи связано с большими трудностями- Имеется удобный экспериментальный
метод, предложенный Надаи на основе мембранной аналогии [3].
Для круглого стержня имеется элементарное решение. Здесь касательное
напряжение
а угол кручения на едннину длины
Крученне упрочняющихся стержней. По уравнениям теории упругопластических
деформаций (14) гл. 3
при условии упрочнения (5) гл. 3
Yi= gfaK-
Внося выражения (35) в условие (30), получаем дифференциальное уравнение
для функции напряжений
Г ,
- k при /-see; г = с
k при Г >--С,
где с - радиус упругого ядра. Скручивающий момент
Ухг = В fa) Ууг= g fa) Хуг
135)
Стержни при упруго-пластических деформациях
5)5
3. Предельны* крутящие моменты
Поперечное сечение
Предельный крутящий момент Л!*
- Ля <Ьа - а*)
Для сплошного вала о =¦= О
Овальное сечение (о .? db) Лп g- аЬг -}-4fcsj
Тонкостенная труба, с - средний радиус 2пАс*в
Тонкостенная труба с разрезом я kc6s
t-k(6*h + 2a2b)
Y ft 6! (s) ds
516 Расчет, стержней с учетом пластичности и ползучести
( дР\2 . ( 6F V2 Ч дх ) [ д,, )
На контуре F = const. Решение уравнения (36) затруднительно. Для круглого
сечения решение элементарно; здесь т<р2 - Я (со/*) шг; угол кручения
находят из уравнения
М - 2яш ( g (tor) г8 dr.
(37)
Приближенное решение задачи кручения удобно находить на основе
вариационного уравнения кручения, вьпекающего из принципа минимума
дополнительной работы (35). гл. 3:
Рис. 10 Тонкостенный замк j ( I I g {?) ? d? - 2(i)F I dx dy = ruin. (38)
нутый профиль In
Кручение упрочняющихся тонкостенных стержней открытого профиля (на основе
решения задачи о кручении вытянутого прямоугольника) В этой задаче можно
принимать, что фушщия напряжений F не зависит от х (продольное
направление). При этом из уравнения (36) следует, что для такого
прямоугольника
F (б, td, у) = -2ш i g (-2oiy) и dy.
(39)
где б - толщина стенки.
Для открытого тонкостенного профиля произвольного очертания
: 2 j j F(б. ш, у) dy ds.
т
где s отсчитывают вдоль срединной линии профиля, б = б (s).
Теорема о циркуляции сдвига (обобщение теоремы Бредта). Пусть С -
произвольный замкнутый контур, целиком лежащий внутри сечения Тогда
ф ё (**> ~ds=~ 2о>", (41)
dF
где производная функция напряжения по нормали п к С;
12 - площадь, заключенная внутри С
Кручение упрочняющихся тонкостенных замкнутых профилей (рис. 10)
рассматриваем с помощью предыдущей теоремы. Пусть С -
Расчет стержней е условиях ползучести
517
срединная линия тонкостенной трубы; б (s) - толщина трубы; ?2 - площадь,
ограниченная С. Тогда = т и
ф g (т) т ds - 2<a?i, (42)
?
причем
М
г ~ 2S28 '
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ
Стержневые решетки
Статически определимые решетки. Рассмотрим ползучесть статически
определимой системы стержней, соединенных между собой идеальными
шарнирами. Стержни работаю! на растяжение или сжатие; механические
характеристики ползучести материала при растяжении и сжатии одинаковы.
Напряжение в ft-м стержне обозначим о*, длину стержня - lR, площадь
сечения -- Гь- Стержни изготовлены из одного материала и работают при
одной температуре.
В статически определимых системах напряжение о* находят из уравнений
статики. Скорость деформации определяют по закону пол-вучести (см. гл. 4)
I* = В, (I) | о4 Г_|о4. ("J
Деформация ползучести
<44>
11
При постоянной нагрузке
4 - G. (О | ок р' о*; Q,(0 = f В, (0 dt.
(1
Скорость vj некоторого узла в направлении дейсгвия нагрузки удобно
определять по обобщенной теореме Кастильяно (см. гл. 4)
дЛ щ ~ дРi '
Где Л -дополнительное рассеяние решетки,
Л=В,(О^]7^Г104Г+1- (45)
А=1
Если рассматривают большие деформации, то
518 Расчет стерм ней с учетом пластичности и ползучести
где if< - длина скфжия в момент времени t\ напряжение будет, вообще
говоря, функцией /д. Интегрирование (43) определит длину в функции
времени.
Статически неопределимые решетки. Напряжения в лишних "стержнях обозначим
через х1т Хо, Значения напряжений в начальном
упругом состоянии отличаем одним штрихом (ок. в установившемся состоянии
-двумя штрихами х{).
По уравнениям статики
Ok = a*-f [k = 1. 2, з, . . п - s), (46)
/-L
где a*. - коэффициенты, зависящие от типа решетки и внешних
сил Величины xf определяюi методами сопротивления материалов. Величины Xj
находят из системы нелинейных уравнений I1J
k=i
Если напряжение в k-м стержие взято за лишнее неизвестное хрч то =1. ck =
хр.
Решение нелинейной системы (47) связано с известными трудностями. При
постоянных нагрузках можно рекомендовать следующий способ приближенного
