Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
разрушения. Эффективны энергетические методы нахождения предельной
нагрузки 151-
Применение обобщенной теоремы Кастильяно (см. гл. 3). Дополнительная
работа единицы длины балки
М
R - f к dM. (18)
где для данного поперечного сечения х = к (М), например уравнения (И) или
(16).
Лоиознительпая работа всей балки
Рис. с- Кривые предельно;с состояния для круглого, прямоугольного и
двутаврового сечений при одпозременном действие изгибающею момента и
осспой сиди
где I - длина балки.
/?-(/? dx, б
(19>
Стержни при упруго-пластических де<]юрлшцичх 511
Так. в случае степенного закона
yr т MMi'IM
к""йТг J -о 1
(2Г)
Прогиб А иод силой Р (или угол попорота сечения <f в точке приложения
момента Д10)
* <¦'$ йВ
1=Р,Ш*-В4'
Изгиб кривых стержней
Изгиб кривых стержней малой кривизны. В этом случге ргщнхе кривизны
стержня велик по сранцешно с размерам.! поверещи го сечения и
рассмотренные выше ураниенин изгиба применимы. Д !я определения
пластических те<|ппчацин кривого стержня удобно исходить
'I
Рис 7. Изгиб кр::ень\ t .cp/Kiieii
из обобщенной теоремы Кастильяно; при этом пил d.\ c-eivci юн. хыгь
дифференциал дуги, а под I - длину оси кривого сгержпя.
(1.П1че|> 2. JliijiO гарзми М0 кругового сгсрж oi ]чн ~¦ i'. -U> *-
'!
_ .4cl+,.I!
= M0, при степенном мкопе деформации Н = ----------------г- и iir.iei.
мю > .. а
(ш л- 1W
бу.дг I
ОН 'О
М" ач
512 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Изгиб стержней большой кривизны. Предполагается, что ось стержня -
плоская кривая, а поперечные сечения имеют ось симметрии, лежащую в гой
же плоскости. Решение основано на гипотезах плоских сечений и отсутствии
давлений между продольными волокнами. Пусть р - радиус нейтральной линии
пп, смещенной относительно центра тяжести сечения (рис. 8); к - изменение
кривизны при деформации. Относительное удлинение волокна, отстоящего на
расстоянии у от нейтральной плоскости.
Р - У
(22)
Но закону деформации (1) находят напряжение Радиус нейтральной линии
определяют из условия
кривого бруса
2 j оЬ (у) dy - О.
(23)
где 2 Ь (у) - ширина сечения. Изменение кринизны к находят из уравнения
моментов
2 I oyb (у) dy - М
(24)
Предельный изгибающий момент. В случае идеальной н лас I и внести в рас I
я ну той зоне о= оТ, в сжатой о~ -о.. Для сечений, имеющих две оси
симметрии, предельный момент Л4* приведен в табл. I Для сечений с одной
осью симметрии нейтральная линия смещена и радиус определяют из условия
(23) при о ~ ±ог.
Степенной закон деформации (2) Напряжение
№ -уУ
(25)
Радиус нейтральной линии определяют из уравнения
Г (уг-'"
(Р - и"
ь (Я Лу = О,
изменение кривизны - из уравнения
i .f/i^y J (P y)-u
b {y) (Hi
Распределение напряжений описывжмся формулой _ _М_ ! У
(26)
С уменьшением показателя р распределение напряжении н растянутой и сжатой
зонах выравнивается, а нейтральная линия приближается к центру тяжести.
Стержни при упруго-пластических деформациях
513
Кручение
Основные положения. При кручеиин призматических стержней (рис- 9)
поперечные сечения испытывают жесткий поворот в своей пло-скЬсти, по
искривляются в направлении оси стержня, т- е. компоненты перемещения'
и - -(огу, у = шх-, w - ф (to; х. у), (27)
где (0 - кручение на единицу длины стержня.
При этом ех = ъу = ъг - уХу ~ О; ах = су = cz = = О.
Остальные компоненты напряжения выражают'через функцию напряжений F (х,
у):
_ OF dF
х" -Цу: - ST
На контуре сечения F = const, менТ для односвязного контура
М ¦¦
¦ 2 [ | F dx dy.
(28) крутящий мо-(29)
Функцию напряжений определяют из дополнительного уравнения (условия
сплошности и закона деформации или из условия текучести) и граничного
условия.
Условие сплошности вытекает из зависимостей (27)
<jg
\
дУхг
Яу
ЯУу.
дх
Рис. 9. Кру-(30) чение стержня
Упругое кручение. Используя закон Гука, получаем из равенств (28) и (30)
дифференциальное уравнение упругого кручения
&F
дх* ^
ду2
= -2Gci>,
(31)
где G - модуль сдвига. Это уравнение аналогично уравнению для прогиба
мембраны под действием равномерного давления, натянутой на данном контуре
(мембранная аналогия Прандпия).
Идеально-пластическое кручение. По условию текучести
- №.
(32)
причем k - ^ .L при условии Мизеса и k = при условии Треска-
Сен-Венана. Функция напряжений удовлетворяет дифференциальному уравнению
Г AF \Ч Г ЯП \2
(33)
т+т
Это - уравнение поверхности естественного откоса. Вектор касательного
напряжения постоянен по величине [согласно уравнению (33) |
17 Заказ 1656
514 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
и направлен перпендикулярно к нормали к контуру сечения- Предельный
крутящий момент (в случае односвязного контура) вычисляют по формуле
(29). Предельные крутящие моменты для некоторых сечений приведены в табл.
3.
Влияние дополнительного осевого растяжения. Вели круглый стержень
одновременно скручивают моментом М и растягивают (или сжимают) усилием Р,
то в предельном состоянии имеется приближенная зависимость нида
