Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
о =- / (н^)-
5№ Расчет стер пеней с учетом пластичности и ползучести
Дли упругого участка балки f (к) = Ев: из уравнения (6) вытекает
уравнение Depiiyvi.ni
Д1 (8)
(здесь J - момент инерции), а из зависимости (7) - линейный закон
распределения напряжений
п (tm) -~т~ У Is)
Дли \пруго-пластнческого участка балки (рис. 2) при идеальной упруго
пластической схеме (см. рис. J, б) напряжения изгиба
Пластические
\\ ЗОНЫ
I
± сг~- при \у\< ± сг при
где ? - расстояние в данном сечении от нейтральной плоскости балки до
зоны текучести. Для величины изгибающего момента имеем формулу (напомним,
что сечение имеет две оси симметрии)
Рис. 2. Упруго-11Л,|ГтическиН изгиб балки
ПО)
где Je - момент инерции упругого ядра сечения; Sp - удвоенный статический
момент одной из пластических зон относительно нейтральной оси;
& h
je - 4 I ь (у) у* dy\ Sp = 4 j b (y) ydy. о t
Следовательно, ? = ? (| M |). Для каждой формы поперечного сече ни я
имеется своя зависимость ? (| М |).
Пример 1. Для прямоугольною сечения (высота Ш, ширина 2Ь)
Дифференциальное уравнение изгиба для упруго-пластического участь ¦ балки
имеет вид
t (I Af !) 1
знак в правой части обратсн знаку изгибающего момента
Т in как изгибающий момент зависит от х, уравнение (11) итегрируетс • в
квадратурах.
Стержни при упруго-пластических деформациях 507
Предельный изгибающий момент. Пластический шарнир. С нозра станием
изгибающею момента размер ? упругого ядра уменьшается; в пределр ? = О
для предельного момента
М* = aTS.
(12)
где S - исяичипа удвоенного статического момента верхней половины
поперечного сечения относигечыю нейтральной оси; величину S называют
пластическим моментом сопротивления- Отношение S к упругому моменту
сопротивления W характеризует
резерв сопротивления деформации при переходе ~__
за предел упругости. Это отношение достигает наименьшего значения,
ранного 1 для идеального профиля на изгиб; для двутаврового профиля оно
несколько нренышяет 1. для прямоугольника равно 1,5. для круга - 1,70
Эпюра напряжений показана иа рис. 3; нейтральная плоскость является
плоскостью разрыва напряжений {от -Но, к - о,).
При достижении предельного изгибающего момента в сечении образуется
пластический шарнир, балка "надламывается", повышается в "пластический
механизм", ее несущая способность исчерпывается. Предельный момент
определяется формой поперечного сечения балки (табл. 1).
Предельные нагрузки для некоторых счучаео изгиба простых Галок приведены
в табл 2.
Степенной закон деформирования [2]. Дифференциальное \ равнение прогиба
имеет вид
Рис. 3. Эпн>|м изгибающих напряжений и предельном состоянии
т I * I'1 1 *
-м
(13)
где Jт ~ 4 | у*'*~*1Ь(у)А•! - обобщенный момент инерции (см гибл 1) Ъ
Заметим, что в эгоп таблице
К!Ч)Г
где Г { ) - гамма-функция. Гра |"нк q (|() показан на пне. 4-
Распрсделение изг/бных напряжений
(14)
Для отрицательных у напряжение меняет знак Графики напряжения о ыя
различных показателей т = -показаны на рис. 5 Максимальное изгшььопее
ьн.;ряжепие .11 ...
ТиГ1 >
(15)
508 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Стир *гни при упруго-пластических деформациях
509
где 1Р," - обобщенный момент сопротивления; hx - расстояние наиболее
удаленной точки сечения от нейтральной плоскости.
Я{м
Рис. 5 Распределение напряжении при изгибе в зависимости ог пнкаэатсли т
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки _dfy 1
dx*
1
где D - -jj- J"? - обобщенная жепкость, й,
* Равнение (}6) имеем решение
- I j -jy | Н i"'-1 М ctx йх + L\x -Г Cs,
здесь Clf C2 - произвольные постоянные.
ив)
510 Расчет стержней с учетом пластичности и ползучести
Для эффективного решения удобен графо аналитический метод [2]. Решения
для простых балок приведены в табл. 4, необходимо лишь под г1 понимать
прогиб в точке А, под скоростью поворота ы - поворот. Заметим, что
кривизна не пропорциональна изгибающему моменту, поэтому нельзя
использовать принцип сложения действий отдельных нагрузок.
Влияние осевой силы. Деме гоне осевой силы заметно усложняет расчеты на
изгиб (см. работы [12, 13]) Нейтральная плоскость, как и при упругом
изгибе, смещается.
В идеально-пластической балке предельные значения изгибающего момента М и
осевой силы Р связаны некоторой зависимостью, характерной для данного
поперечного сечения- Так, для прямоугольного поперечного сечения
?-(?)¦¦ (17'
где - предельный изгибающий момент при отсутст вии осевой нагрузки (см
табл. 1). Р* - предельное осевое усилие при отсутствии изгибающего
момента (Р* = Рог, здесь F - площадь поперечного сечения). Кривые
предельного состояния для некоторых профилей показаны на рис 6.
Изгиб балок из материала с разным сопротивлением растяжению и сжатию.
Расчет таких балок несколько сложнее, чем в симметричном случае. но также
может бьнь проведен для различных сечений [12].
Расчет рам и сложных балок. Разыскание предельных нагрузок для рамных
конструкций требует рассмотрения возможных механизмов пластического
