Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
вычислять по правилу Верещагина.
После того как из решения уравнений (1) определены лишние неизвестные,
усилия в элементах данной системы находят по принципу независимое i и
действия сил:
М = Мр + Х,М, Х2Л1а Х"М" -
= мр -j 2 АДГ,.
"=1
N = Np v 2
i=l
Q = Qp A:Q,
1
При двух-трех лишних неизвестных решение уравнений (1) не чьим вает
затруднений Если же данная система обладает высокой степень о статической
неопределимости, то получается большое число кано"и тоски х уравнений,
решение которых становится операцией, трсбуюлкп большого труда,
значительного времени и определенных вычислите гь ныт навыков. При числе
неизвестных порядка 10 обычно пользуются алгоритмом Гаусса, который
представляет coqoii \ юрндоченный способ" последовательного исключения
неизвестных. В табл. 1 в общем
Метод сил
483
1. Алгоритм Гаусса для четырех канонических уравнений
X А. X А" а А" а Контроль S
6ц 6.* 6.4 *. S,
1 • 6,а *7Г 6,а 6" б|" 6.. А) 6,, ~ 6,,
2 6,, "i* 6"а I 6а" 4, Б,
1.6,. • ~?-в" Чг*" -tr"" 1
2И1" •& *й} •S' 4<'> 4"
и • е23> ' ыу' "я" '6<1> ап, __'5Г .а, 22 Л")
3 6,, Л"! 6*г 6,4 4. ! ..
• •681 • • Чг"- 6l4 4 -6^Л*' STT ' - "Й" 6,1
1 и 6^' 1 • Ч 6П, е<]> " Af1) -^-вП) eg> 23 4'> -'
в <1 > 6(1) *М 1 л(1> б") е'"
2-ш б|' ф . ,21 3 ,<*•!) 8
in • ф *(2) °33 41' s(2)
4 "4. баз 644 6. j ..
I-6U • • • Чг(- -КГ'- ее"
н."й> • • а(1) 22 4!> - "(о "Ё> 21 4"
Ii'.sg) • 6$ - Л<2> *{2> °34 °зя ,й Е_- ,,(!> ф
42) "
484 Статически неопределимые стерлиневые системы
Продолжение Т.16-1 1
S ж jy ? Л , A . ' Контрол i
-'S' .О" Л4 ДЗ) 4
j • ,(3) лН> 44
приведена схема решения но способу Гаусса четырех канонических уравнений:
1. 6цХ| j-- б|гХг -f I + А| -- П.
2. ~ fi^gXa ~h 6мХ4 | Лг - U.
3. й^Х, + бзоАЧ йазХя -f *Я4Х4 + Ла = О
4. fi4lX4 b4tX.. 4 fi"X* -г 4- А, = 0.
По схеме видно, что исключение проводится по шагам. Псрный шаг -
уравнение 1 решается относительно Х4 (получается уравнение 1). Второй
шаг-из уравнений 2 и 1 исключают неиз:естное Х4, полученное уравнение
решают относительно Х2 (II) Третий шаг - из уравнении 3. 1 и И исключают
X, и Х2, и полученное уравнение решают относительно Xj (III). Четвертый
шаг - из уравнений 4. 1. II и III исключают X,, Х2, Х8, из полученного
уравнения находят Х4. После этого, последовательно из уравнений 111, 11 и
1 определяют Л'-,. Хг, X.. Контроль вычислений ведут суммированием
коэффициентов.
Применение современных вычислительных машин к расчету сложных статически
неопределимых систем предполагает матричное представление всех исходных и
искомых параметров задачи. Это обстоятельство, в частности, послужило
причиной широкого интереса, который проявили н последнее время
специалисты в области прочности к использованию матричного исчисления в
различных задачах строительной механики.
В матричной форме система канонических уравнений метода сил запишется
так:
АХ 4 -Ар; (8)
здесь А - матрица единичных перемещении (тыи матрица податливости),
которая является квадратичной и симметричной (б,-^ = б^4) матрицей:
fin 6"? fiia
Метод сил
485
- матрица-столбец лишних неизвестных
(10)
Др - матрица-столбец действительных перемещений (свободных членов):
1
Лу Да 1
(П)
ЛпР
Исследование детерминанта матрицы А показало" что сам детерминант и все
его главные миноры всегда положительны, также положительны след матрицы,
ее квадратичная форма н все характеристические числа.
Первостепенное значение при расчете статически неопределимых систем имеет
рациональный выбор основной системы. Хорошо выбранная основная система
упрощает канонические уравнения, уменьшает затраты труда и времени,
повышает точность расчета.
Рациональной следует считать такую основную систему, для которой
наибольшее число побочных коэффициентов6,-* обращается в нуль. Эк"
значит, что в рациональной основной системе большое число эпюр единичных
усилий обладают
Ч п-г
свойствами ортогональности.
Эгого можно добиться удачным выбором лишних неизвестных, их группировкой,
использованием симметрии данной системы.
Статически неопределимые балки
Для закрепления балки как плоского тела достаточно трех связей. Если
связей будет больше, то балка окажется статически неопределимой. Степень
статической неопределимости балки равна числу лишних опорных связей.
Примеры статических балок показаны па рис 1 (степень статической
неопределимости обозначена п).
Степень с 1ати ческой неопределимости много пролет ной неразрезной балки
равна числу опор без двух (заделка накладывает три связи).
Рис. 1
486
Статически неопределимые стержневые системы
Постановка шарнира в каком-либо сечении балки снимает i>,iny связь
Fchh дана мноюнролетнам нера {речная балка (на рис. 2. и показаны два
смежных пролета), то основную систему удобно выбрать, оставив шарниры н
сечениях над промежуточными опорами (рис 2, б). При этом каждый нролст
счаношпен балкой на двух концевых опорах, нагруженной силами,
действующими в данном пролете, и неизвестными моментами по концам
