Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
поперечные связи нодеформируе мыс 19]- Погонные касательные усилия q (в
кГ(см) в шве н взаимный сдвиг Ас (в iM) двух соседних слоев
пропорциональны,
q = У.&с, (2)
здесь к - жесткость (отпорноеть) связей сдвига. Определение усилий в швах
и поясах является стати- - 1 lfl
чески неопределимой задачей В ка ? - -1'-
честве основной системы беру ¦ па- -- ----------ж----------------
кет из слоев, между которыми
связи сдвига удалены и заменены ис
касательными усилиями q. На
рис. 2 показаны i и i + 1 слои с касательными усилиями, действующими на
них со стороны i- 1,/и i т 1 швов. За лишние неизвестные удобно принять
равнодействующую 7",- (х) касательных усилий qt (х), действующих по одну
сторону от рассматриваемого сечения Для i-го шва равнодействующая Г,- (х)
и усилия q-t (х) связаны соотношениями
д
т, (") = Т, (0) + j Q О ds или г; (х) = (х). (3)
В основной системе общий изгибающий момент М° (х) в ссчснни балки от
внешней нагрузки распределяется между слоями пропорцно нально их изгнбным
жесткостям; так, изгибающий момент в i-м слое
"iW-eT-wm. (j)
здесь ^ EJ -сумма жесткостей всех отдельных слоев, входящих в составной
стержень. Найдя величину сдвига в сечении х по i-му шву через внешние
силы и лишние неизвестные и пользуясь зависимостью (2). получим
дифференциальное уравнение
Тi (•*) - У-i Tk (х) 6(ft - РцрХ;, (•')
1
468
Составные стержни
К w
E,Fi
1
fi.Fi
К
1+1
т
Cu.Fu.
1
K,h.
У EJ
"i
Vc.l
тк'
1
Ei+iFit l
IhhlzL.
у tv'
2?J '
Mfe
УИ
при I i-
(6)
Уравнений вида (5) будет столько, сколько швов в составном стержне. Эта
снстема линейных дифференциальных уравнений второго порядка хорошо
исследована. Общее решение для неизвестной функции Т, (х) записывают в
виде
г. W = 2 Р"7* (*),
№ Pi* (t. /г = 1, 2, 3, . п) - постоянные множители; 7* (х)
(ft =
= 1, 2, 3, , я) - функции вида
Tk (х) = Ak sh Я* к -(- В* ch Я*х. здесь Я/е - корни следующего
уравнения:
-Я2. kAj, - -
Ka'Cja -Я2, . . .,
к.,6,11
- Я2
(7)
Постоянные /1^ и В* определяют из граничных условий на концах ft го щва:
если на конце шва нет препятствий взаимному сдвигу, то Т = 0; если на
конце шва имеется жесткое препятствие сдвигу, то здесь должна выполняться
зависимость (2) при заданных к и &с.
После того как определены неизвестные Г,- {i - I. 2, 3, , я),
находят усилия к каждом слое составного стержня
А', (х) - Т( (х) - Tt_i (х) 4- Л7-:
(*)
}Многослойные составные стержни
469
В частности, для двухслойной балки с упругими связями сдвига получим
дифференциальное уравнение
Т" - кЬТ - хД. (9)
здесь
(S 1 I . If №h . IV" •
t'.F, ЕЛ 1 -Vej' " У rj ttF, i F"F,'
\ bj - EXJ% + ijij 2;
корень уравнения (7) будет A- = хб. Решение
Г {x) = A bh Ax + В ch Ax |- J A {?) sh A (x
о
9 (x) - T' (x) - \A ch Ax AВ sh Ax -j-
x \ A (?) sh A(x- |)dg. и
Окончательные формулы для двухслойной балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой, приведены в табл. I.
на концах балки сдвиг слоев свободный или исключен.
Прогибы v двухслойной балки в случае отсутствия внешних осевых сил
определяют интегрированием дифференциального уравнения
i.,v - хвв| - -J-.AW1) (II)
Практически важен случаи, когда стержень, составленный из трех слоев,
имеет I-образное сечение, симметричное относительно горизонтальной и
вертикальной осей В этом случае от неизвестных суммарных усилий Г] и Т2,
приводящих к совместной системе двух уравнений (5), удобнее перейти к
неизвестным 2Та - Tt 4- Г2 и 2Tt = = Тх-Г2- Неизвестная Та -
антисимметричная часть совокупности усилий Тг и Т2, а Тс - симметричная.
Тогда получим два независимых уравнения
(10)
Г а = * (уЛ + 4")- I тс - * (тЛ + М. j
(12,
470
Составные стержни
I. Формулы для двухслойной валки
_ ph /I* - хг -г. t.l - }J ch 't-X .
ftlEjl * '
ph / I "h Ял \
~ в X ir Д' >ь >J I
Эпюраq
^ашптшп
- (tm)
flEJl [-hr-
Pit I L-u
Ph Г L
"max f?ivl
sh /. \L - и) 'h Ял I
- ?v-hU J
sh Я (i. - a) _v , "1
STil cb "|!
sh Я {L - uj 1
T L - a sh Я (Я - u) 1
? L sh Ям J*
Ph Г# - L ch Я (/. - м) . ,
SwTTZ-Ck4'-|
Двухслойная балка
471
К =¦ V
(13)
Индексами k отмечены величины, относящиеся к крайним слоям, индексом п -
к промежуточному (среднему) слою. Прогибы от поперечной нагрузки в балке,
симметрично составленной из трех слоев. Определяют интегрированием
уравнения
IV - a Ml
=фт + *Ь-Е±. ОЯ
где М*я и LMJV- изгибающий момент и жесткость для монолитной балки.
Напряженное состояние составной балки представляется в виде частного
решения, соответствующего монолитному сечению, и общего решения,
зависящего от длины стержня. Деформация связей сдвига существенно влияет
на распределение нормальных и касательных напряжений в составных стержнях
лишь в сечениях, близко расположенных к характерным точкам (концы
стержня, места приложения сосредоточенных сил п др.). При Кх > 4 влияние
"местного" фактора пропадает и напряжения можно определять как для
монолитного стержня.
Величины напряжений в составной балке лежат между их значениями дли балки
