Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
эффективпые жесткости зависят от максимального угла наклона волокон $р, -
(J,5t06. соотношения сторон и коэффициента Пуассона v.
(20а)
(266)
<?t = М + Ь"т. Mt - h"r i м. При чистом растяжении
(27)
М, = U; т = - е; Q. ^ t Лт ь
(28а)
где hf - "эффективная" жесткость при paci яжении.
(286)
При чистом кручении
Q. = 0; е = - М. = л'т,
ь Ле V т 1
(29а)
где hT - "эффективная" жесткость при кручении.
(296)
иия ЬХ Ь величины Лр0 - Ebb. hxn = -у GbtP. Для закрученного стержня
448
Естественно закрученные стержни
Приближенная теория стержней произвольного профиля [11]. Если |,i] -
главные центральные оси сечения, то при выполнении условия (4)
коэффициенты матрицы жесткости (15) определяются формулами
: EJ%; - Е J •n't
Лет - тсЕ Jp - 7c); teT - т0E [Jp% - 7*.), firyc = - т0? (Ур^ Ttj); /leg
- Лет] ~ Agij = 0,
(30)
Рис. 3. Изменение крутильной (а) и продольной (б) эффективных жесткостей
в зависимости от угла наклона винтовых волокон Рот для стержня с
удлиненным
прямоугольным сечением при v = */,; -=0,1: 0 - расчет при fim - 0.
I - расчет в предположении Р^ С 1: 2 - расчете учетом членов порядка
ttfn'
3 - расчет с учетом членов порядка Р^ [16]
где
7*=Г0 + 2(1 +v)t§(J?-7^.
Здесь F - площадь; У^ = j т]2 dF; Уч = J ?2 dF - осевые; Jp -
F F
^ | R2 dF - полярный; Jyu = j R-rj dF и JPn = j #2| dF - по F If f
дярио-осевые моменты инерции; У(r) = J Кл dF', Т0- j (jR2 + dF -
F F
геометрическая жесткость на кручение незакрученпого стержня,
Т% = I + 4>v) Ч Г,, = j (fi2 + (f^) I df:
F F
П' -
Общая теория закрученных стержней
449
4 'li, (5 М-чЛч^ч,)- <ft '>Ч ^ -*Г.
где -ф - функция кручения соответствующего не: id к ручейного стержня.
Коэффициенты матрицы податливости (14)
а,--И I -1- а,
a*=--k[i 1 ¦'f)1
_1з_
д.
~R7' а&
'ч< Ч '
at~ ' ax ~u~T- \ - ax
heh^ 1 пепц
l'l)T
aX~^
ET^llt
м7;
(31a)
Формула ;ця at может Гыть представлена также в виде I
jf - Tr~ J; - т.
"ч (| + Pf,)
2(1 I V) Tg (Jr - Tr)
"--------------------------------------------T"--------------------------
----------------¦
in r1) Hp T°)~ U/'l. - fl)2 ^ Up,i -
. (316)
Без учета стесненной деформации напряжения в поперечном сечении
определяются формулами • нормальное напряжение
о. - i(e к"! + Kf.| - V*,).
(32а)
i
450
Естественно закрученные стержни
касательные напряжения = От (tf j - г) + ч,) - Ет(; (е - -1- к61) т0тxf^)
<ft;
°rt = 0х ('IV, 'I' I - E|) - ?то (e - уф I- "si " TcT(fll) ТУ,-С учетом
соотношений у14) и ныражений (30)-(31) получим Qi_
F
(320)
+ ["П +¦ ^Tc°x (^i>t - ^0 *Рф] ^33)
где
- "главное" значение функции <р^.
В закрученном стержне произвольного профиля все силовые фак торы и все
компоненты деформаций взаимосвязаны. С увеличением естественной
закрученносги т0 жесткость стержня на кручение возрастает, а на
растяжение и на изгиб - убывает. Помимо обычных нормальных напряжений
"о _Cj__
°с f j" • ¦ .гг п'
в поперечном сеченни закрученного стержня возникает система само-
уравновешенпых нормальных напряжений, распределение которых опишнается
функцией "р^.
В поперечном сечении закрученного стержни, помимо системы касательных
напряжений по Сен-Веиапу [первые члены в формулах (326) J, даже при
чистом кручении возникает дополнительная система касательных напряжений,
причем крутящий момент уравновешивается суммой моментов обеих систем.
Внутренняя потенциальная энергия единицы длины закрученного стержня
11 -7Г (? [е2Г + Л|^5 - + 2т"ет (j" - Т,) -
-2т"хчг(/рч-7-ч) |-2г0х6т(.(р6-Т|)] -гСт'Т}. (35) Стержень эллиптического
сечения с произвольным отношением осей с = (0<с ^ 1).
Максимальный угол наклона
волокон - G,5t0(j.
Общая теория закрученных стержней 151
В си iy симметрии J-= Jm = - "?|| - - а71-( -= 0:
¦ Тч -= 0 Л6т ^ ft,),
r nb2 Tib1
f ~ГС- ¦'s = -ETc-
I ^ ,
' =' "6i '• ''
-c(l
16 1 -I- C'
я ft(r)
, " Jib* . (1-гЧ"
ir'TT^1
.lb'1 / I -?= у/ 2 \
= 5I2C(tT?) ('----------3"C 1 c J;
J -7° j2l> - c(\ 2 J I ,Л.
Г'ЖЧ 8 b /'
1,- TJ° - r" - lJl>-pT")Z =
Я&* / 1 - C(r) \2 / 2 " Л
" 1024 C ( 1, c2 ) ( + "5"C ¦ /"
?.tfe4 64
?я62
ftT =
/is=.
Gnfc4
?л&*
64
1 +
16 1 +<2 Л (¦+*)? (¦-^(l-|-c54 ¦*)
к 1 +
4c2 1 -j- c2
e ?nft" (l-C2)2
ex ~~ Pm 32 1 -f c2 J
4 I , (1 4-v) p^(l - ^
Enb*c \ Sc2 (I -+-C2)
(1 + *>P"0 -c2)2
8c2 (M c2j
- 16 о
+ T
e2 j-c4
)ГЬ
СлИ
г с2) Г
(I -I v) ..
+ SfSil-fZ; :<
•)Г-
= а?б -
(36)
452
Естественно закрученные стержни
2fi,"(l-<2)2 | i , (1 I VI Pj, (1 - l'Y
1'Н Ь2(ГХ,21
к(м
136)
" - аЕ - а, .
Зависимое! и ое=-- и at- (где яЕЛ. ото - значении аР,
Оео %0
ах при Р/71- 0) от угла р/п показаны на рис. 4 Зависимость изменении угла
наклона крайнего винтового волокна Лрш - 0,5т6 от Р", при рас
Рис 4- Изменение коэффициентов податливостей на растяжение и кручение аТ
стержни эллиптического сечения в чависимости от максимального угла
наклона винтовых волокон (5^ и относительной толщины профиля с;
V - 0,3
Рнс 5 Зависимость изменения утла наклона ниитоп ых волокон Дрт от его
начального значения Р№ и относительной толщины профиля с при растяжении
