Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Биргер И.А. -> "Прочность, устойчивость, колебания. Том 1" -> 114

Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.

Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 — М.: Машиностроение, 1968. — 831 c.
Скачать (прямая ссылка): prochnostkolebaniyaustoychivostt11968.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 212 >> Следующая

матриц коэффициентов податливости \akt'\ или жесткости || hk/1| и
выражениями этих коэффициентов
ТЕОРИЯ КИРХГОФА - КЛЕБША
Основные соотношения [15, 14, 6]. Для незакрученного стержня (т0=0)
система (14)-(15) распадается на четыре независимых соотношения
<h
Е - = ~?р~ \
мг
уъ = " , л;
т - =
(16)
G7 ,'
осевые моменты инерции: Тс -
где F - площадь сечения: Уч
геометрическая жесткость на' кручение
Если естественно закрученный стержень можно полностью раскрутить (т. е.
перевести в незакрученное состояние) путем упругой и линейной деформации,
то для расчета такого стержня можно также пользоваться соотношениями
(16). считая т = тх -тп. где тп -естественная начальная', а т, - конечная
относительные закрученности.
1 См литературу в конце иишы-
444
Естественно закрученные стержни
Пределы применимости теории. При закручивании на относительный угол т0
стержня эллиптического сечения с отношением осей с =
- - (0 <[ с < 1) максимальные деформации сдвига ew - т0Ь ^ ,
а максимальный угол поворота продольного волокна = 0,5т0Л Условие
линейности деформаций требует, чтобы <? чт, откуда
(17,
Условие упругих деформации требует, чтобы е,т < еу, где fey-деформация,
соответствующая пределу упругости (ей порядка 10-8). т. е.
1 4-С2
(18)
Для стержней с тонкими сечениями (i < 0,1) определяющим является условие
(17). для стержней с толстыми сечениями - условие (18). В обоих случаях
применимость теории Кирхгофа-Клебша ограничивается стержнями с весьма
малой величиной углов наклона винтовых линий (порядка 1(ГЭ). При
больших значениях углов Р"
должны использоваться более общие теории закрученных стержней.
В частном случае для стержней с двусимметричными сечениями в соотношениях
(14) коэффициенты а^ ~ 0 (k е), - 0 (ft =р i])
и система (14) распадается на две системы соотношений для продольно-
крутильных и изгибных деформаций, причем последняя при условии (4)
совпадает с соотношениями теории Кирхгофа-Клебша для задачи поперечного
изгиба
EJtftt - Ai^.; EJfjHri - А4Ч, '19)
так что в этом случае пределы применимости теории Кирхгофа-Клебша для
задачи изгиба расширяются до значений рп порядка 10"
Изгиб закрученного стержня двусимметричного сечения. Разрешив выражения
(8) относительно и", v", получим с учетом (19) и (11) дифференциальные
уравнепия упругой линии закрученного стержня [10 |, справедливые для
стержней друсимметричного сечения при Р$< 1:
щ)*юа'С№а° + "•-Чс-^г+ЭД-
I sin а0 cos "{,
(20ai
Теория Кирхгофа - Клебша
<л" = - A sin (2ctn) Мх + [A cos (2а0) + В] Му, и" = [i4 cos (2ct0) - fl]
Мх + A sin (2а") Му.
(206)
щ)''
в= +
(21)
Частные случаи. Незакрученный стержень к0 = 0; § - х; rj = У, тогда
,<¦-*.
EJ" •
мх
Стержень с равными жесткостями ни изгиб
= Jn = j: ^
Л = 0; й=-гг;
EJ '
Мх
Естественная закру- ных Прогибов V[ и Uf от полного угла закру-
ченность в этом случае не чснности при разных значениях k
влияет на изгиб.
Изгиб равномерно закрученного консольного стержня моментом Л1
на конце Мх - /И; Му = 0. аг = т0г, где т" = - const (рис- 2)
и (0) = v (0) - и (0) = v' (0) =" 0.
Проинтегрировав выражения (206) и отнеся прогибы конца стержня up vi к
прогибу незакрученного стержня той же длины МР
01° = -2Щ' <22а>
получим
Щ 1 ,1 !Л - Sin 2а/
-146
Естественно закрученные стержни
h
k - -- - at Tei Jr\
Прн т0 ~ const выражения (226) справедливы при неограниченном возрастании
длины стержня и его абсолютной закрученностк, причем при а[ -у оо
т. е. многократно закрученный стержень изгибается так же, как не
закрученный стержень, податливость которого на изгиб равна полу сумме
податливостей закрученного стержня.
При I - const выражения (226) справедливы только до таких значений угла
щ, пока соблюдается условие (4) - см стр. 461. Зависимости (226) показаны
на графиках рис. 2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЗАКРУЧЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Точные решения. Для некоторых простейших задач известны "точные" решения,
т. е. решения, полученные методами общей теории упругости или теории
оболочек.
Растяжение слабо закрученного стержн я |8). Деформации:
e = -|jh 1 = *'t = *i = 0- <24а)
Напряжения в поперечном сечении, нормальном к оси

F
~ то°С
Otlf =- -
?-"г-(4-4
VrA^'i-'b
(216)
здесь Jp - полярный момент инерции сечения: ф - функция кручения
соответствующего незакрученного стержня.
Из формул (24) видно, что под действием растягивающей силы (Qf>0)
закрученный стержепь раскручивается и в нем возникаю' дополнительные
касательные напряжения ггчг.
Формулы (24) справедливы при условии
# " I (251
Параметр определяют по формуле (316).
Общая теория закрученных стержней
447
реформации слабо закрученного стержня до у симметричного поперечного
сечения [4]. Деформации:
Выражения (26а) справедливы также при условии (26), а ныраже-*шя (266) -
при менее жестком условии (4).
Растяжение и кручение произвольно закрученного стержня удлиненного
прямоугольного сечения [16J Для рассматриваемой задачи соотношения (15)
принимают вид
Для неза крученного стержня удлиненного прямоугольного сече-
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 212 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed