Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
sh - - 1 sh kz, ш П) h ft/ сп kl - =h ft/ \ 2 2 2 / ""I" hi
rh hi - sli hi ch *'
Тонкостенные стержни
42Г>
проходит в стороне от оси изгиба (рис. 6, а). Это воздействие можно
заменить такой же парой, лежащей в плоскости, которая проходит через ось
изгиба (рис. 6, б), и Снмоментом (бипарой), представляющим собой
совокупность двух равных и противоположно направленных пар (рис. 6, в).
Пара (рис. 6, б) вызывает изгиб стержня, а бимомент (рис. 6, в) служит
причиной кручения стержня.
На примере стержня двутаврового сечения, показанного на рис. 7, пояснена
природа кручения, вызываемого бипарой. Совокупность двух изгибающих
моментов ± М (рис. 7, а) вызывает изгиб полок двутавра в двух
противоположных направлениях. Вследствие жесткости контура сечения,
деформация, изображенная на рис. 7, б, невозможна, т. е. при изгибе полок
происходит поворот всего сечения (рис. 7, "). R данном случае бимомент
равен произнедению одной из пар на расстояние между парами {плечо
бимомента)
Если нормальные напряжения на торце заданы каким-либо законом о -
- о (s), то бимомент
б.,.
- | oto rif. <>)
(24)
Причиной стесненного кручения может оказаться также внешняя нагрузка в
виде продольной силы Р, приложенной в произвольной точке А срединной
поверхности параллельно оси г (рис. 8). Действие такой силы эквивалентно
совокупному действию: силы Р, приложенной в нулевой секториальной точке
В; пары переноса Ра.
Первое воздействие вызывает вкецептренное растяжение (сжатие), причем
нормальные напряжения определяются обычными формулами сопротивления
материалов для стержня сплошного сечении Второе воздействие, в свою
очередь, приводится к паре Ра в плоскости, проходящей через центр изгиба,
и бимоменту - Рсо, где о) - секторналь-ная площадь, соответствующая точке
А приложения силы
Если к сечению приложено несколько сил Р* (i = 1, 2, . . ., я), то полный
бимомент определяется формулой
V Р,щ.
<25,
430
Тонкостенные и кривые стержни
При непрерывной вдоль контура приложенной внешней нагрузке интенсивностью
q (s) на единицу длины средней линии сечения
В№ = J 0о" dF. i^6)
IF)
Если внешняя нагрузка q = q (г, s) приложена непрерывно также и по длине
стержня, то кручение будут вызывать распределенные бн-моменты,
интенсивность которых на единицу длины стержня
Ьм - ( q (г, s) to dF.
(27)
В этом случае основное дифференциальное уравнение (15) приобрел ает вид
т W - ьиМ) EJia
28)
В табл. 6 даны выражения для величин Вш, и М* в различных случаях
действия на стержень внешней сосредоточенной бимоментной нагрузки.
КРИВЫЕ СТЕРЖНИ
Общие сведения. Нормальные напряжения
Стержни с криволинейной осью называют кривыми стержнями фнс 9) Если
высота стержня h мала по сравнению с радиусом г
^ стержни малой кривизны -g- ^, то с достаточной точностью
справедливы основные зависимости для прямого стержня (см. гл. 9)
Кривые стержни
431
Для расчета стержней большой кривизны ^ применяют
приближенную теорию, основанную на гипотезе плоских сечений.
0. Е и моменты В^, моменты стесненного кручения и моменты свободного
кручения Мл при действии на стержень внешней сосредоточенной бимоментной
нагрузки
Тип стержня и нагрузка Формулы
1 ----- (-¦-"--J " _ s1) kz ,, ch kz BU>- D Shkl ' <0 "
~Dk vn kl : Af.Bk * sh kl
я г n n to Sit kl
, - CO * sh kl Лf.- а/, с1,*?"г) sh ft;
К
р Р " n s!l *t/-г) si] . йсо- BA ?h kl В sh k< -
" . cli k ll - z) ch kz sh kl D''k sh U ' " . ch ft ?/ - г| ch Лг ?h hi
Dlt -h4
432
Танкосжнные и кршые стержни
Гипотеза плоских сечений. Для плоского сечения стержня перемещения точек
поперечного сечения
а- - а-0 + ц>у, (29)
г де а'0 - перемещение точки О (приведенного центра тяжести сечения).
Центр тяжести поперечного сечения С находится на расстоянии R от центра
кривизны- Относительная деформация
dw
dsu
dwp
dq>
ds
ry
t г-\-у ' ds г -г у ' Нормальные напряжения
a_E(**L.r
\ ds r-\-y
+ *E_? "Л,
As г у )
(30)
(31)
где E- модуль упругости; at -температурная деформация. Из условий
равновесия (рис. 10)
1 о AF = М: | су dF - Мх
(32)
dwо Л' F
ds
J " Г + У J F F r-i-У
??ф Мх . f Eat у dF F
ds f Е Гу* dF f F ry' ,1F '
J ~ Г -ь У ) r + y "•
(33)
(34)
Положение приведенного центра тяжести определяют из условия
| Е -У- AF = 0. (35,
3 г +у
F
Расстояния от приведенного центра тяжести до центра кривизны I' EdF
Кривые стержни
433
Например, для стержня прямоугольного сечения с постоянным мо дулем
упругости (рис. 11) с радиусом кривизны линии центров тяжести сечений R
J Г+у
tlrl
Я+ -5-*
1
1-Л-
2 R
Смещение приведенного центра тяжести е = R - г = R Л
Приближенное равенство справедливо при
(37,
(38)
Нормальные напряжения в поперечном сеченнн при плоском изгибе стержня
определяют по формуле, вытекающей из равенств (31), (33) и (34),
г + у
SEri
'У
Г + У
f Е-&-< J г + у
F
J Еа ty dF
r + y
J*7
ry2
TV
(39)
Другой, более краткий вид формулы (39):
г/ г ( N 4 Nt Мх + Mxt \
434
Тонкостенные и кривые стержни
