Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
Наименьших нормальных напряжений достигают при следующих пропорциях
поперечного сечения: для сечения a: F, = /г = -i~ F\ для еечення б: /L =
0.232/; Fs = 0,536/, для сечения в: /,=0.188/; /*=0,624/. здесь /, /,. /,
- соответственно площади всего сечения, сечения
ПОЛКИ И "'ТСНКИ.
Тонкостенные стержни
423
(16)
где
т = -
Е/ю
jiAd_
dz
(17)
Функция m - m (г) представляет собой интенсивность моментов инешиих
скручивающих пар.
Четыре постоянные интегрирования, возникающие при решении
дифференциального уравнения (15), определяются граничными условиями,
причем па каждом конце стержня имеются два условия, зависящих от
характера наложенных связей:
в концевых сечениях со свободной депланацией с=0 и поэтому ф" ^ 0; в
концевых сечениях, лишенных возможности деплаиировагь, lit - 0 и,
следовательно, ф' - 0, в концевых сечениях со связью, пре пятствующей
повороту вокруг оси г, угол ф = 0; в концевых сечениях, свободных от
такой связи, М - 0 и, следовательно, ц '" - = 0;
если в таких сечениях приложен заданный крутящий момент М. то
,л , *'1
должно выполняться равенство q " - я-ф - гг
Варианты сочетания граничных условий в зависимости от опорных устройств
приведены в табл. 3.
Выражения ф - ф (г), получаемые интегрированием дифференциального
уравнения (15), для некоторых схем стержней даны в табл. 4. По этим
выражениям могу! быть найдены нормальные напряжения (формула (3)1,
касательные напряжения стесненного кручения |фор мула (9) ], а также
касательные напряжения свободного кручения [формула (14)].
Расчет тонкостенных стержней иногда строят на понятии о бимоменте,
который определяется выражениями
(F)
и является функцией координаты сечения г. При этом дифференциальное
ураннение (15) записывают в виде
Для определения двух постоянных интегрирования, входящих в общее решение,
используют граничные условия, связанные с деплана ционными свойствами в
концевых сечениях (по одному условию па каждом конце)-
при свободной депланации Вы - 0; при отсутствии депланации Вы = М.
После определения В^ в функции координаты сечения г находят момент
стесненного кручения
М
(18)
Г'>1. - к*Вы т.
(19)
421
Тонкостенные и кривые стержни
Граничные условии в зависимости от опорных устройств
4. Решение уравнения стесненного кручении для некоторых стержней
Тип стержня н нагрузка Зависимость
* const -Jcalo-c-, О) 1 ")+сь ¦]
3- & 1 •-¦-St
Тонкостенные стержни
12о
Продолжение табл 4
Тип стержня я нагрузка Зависимость
т* const ьр^СССС, ч> 41 ЬЧи^.Ьи [*'*(' 2С,,)И + + ch Лг - 1 - kl sh kl
+ kl sh A (I - г) J
"j
гх у' \- i г) (r) *'H.ehK "b" + sh*" *>]
-Л- m-CSnSt или*
tii;' '+ а ' **'. * ' ch4- ¦ 'J
н/ у 1? " (f- lb*M
t i е) ?
• const Г г) *•"" [ 2 Sl, 42 sb *"-" 1 ¦-* J
г V у ~ ^ 1 kz kl , kz * ... bi ~sh"5 sh T
sh k' "h
426
Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл. 4
Тип стержня н нагрузка Зависимость
^ т-const - ¦-сссссг7| " *<tv" [ch1+ *'"(' 2) 1 + kl sh kl - ch kl -
U 1 -J и) kl ch kl - sh Ы stl ** + №1* 'I ch k/ - 1 - ch kl J +
kl ch kl - sh kl kz \
¦0-7$ 2 к) 2 , kl , kl . kl м /. -ch--sh- .
fpl \ kl ch kl - sh kl kl kl . kl kl \ kl ch kl - sh kl 51 г }
и момент свободного кручения
М* = М - Mt0 (21)
В табл. Б даны выражения Л1и в М* для случаев закрепления
и нагружения тонкостенных стержней, приведенных в табл. 4.
Нормальные напряжения ow определяют через бимомент
С.0 = 4е- ">¦ <22>
а касательные напряжения стесненного кручения - через момент стесненного
кручения Mtit:
- ДА /оо\
т"_ JJ, (23)
Касательные напряжения свободного кручения определяют по формуле (14).
причем крутящий момент свободного кручения находят по формуле (21)
Стесненное кручение при действии внешних бимоментов и продольной нагрузки
Явление стесненного кручения может быть вызвано не только крутящими
парами, но и действием внешних бимоментов или внешней Нагрузки,
направленной параллельно оси г стержня.
Внешние бимоменты возникают в тех случаях, когда к тонкостенному стержню
приложены изгибающие пары, плоскость действия которых
Тонкостенные стержни
427
5. Бимоменты Вм, моменты стесненного кручении и моменты свободного
кручения М
га О "а Формулы
" (0~ ft* ch A (-^ 21 I 1 ' 2 M ch "- J " *ch -5 1 "ы,(4-г) 21
б *"-<>: wco = 0;
в ft* ch ft/ sh * (' г) ch 1_ch fczI; ж"о = ' ftWftTtsh " ы clt *(/ _
г)1: ]
г Л1 shft(/-?) Ch*(/-z). to ft Clift/ ' to c.i А/ '
г) "(0 Л1* = nil 4-^} m sh ft ("7 - г) ' ' j г shM-T - z) J '
и"ь-?-
42Ь
Тонкостенные и кривые стержни
Продолжение табл 5
<0 Ч U <г. Формула
е M shftz М ch kz Т-кГ' МшО)=--2 Г"*/' ch -к- ch 2 2 ,, JW /, ch
kz \ М'т=~\-Щ)
ж [l- " "[, " **.(¦*¦'*) 2 1 ' ""#¦ sh*(-L-,);
¦ ]
<') -1 2ft ' . Л/ sh- M "b*" + ,h*(i.-,)
""(1)- 2 kl sh - " f Sl.fc+Sh*(-L_z
¦ н ' to ft *V | 1 + ft/ sh ft/ - ch kl \1 ch kz ft/ ch
kl - sh hi I I + kl sh kl - ch ft/ ~ kJ '-J- 1 - sh kz )
= ft " ft/ ch ft/ - sh ft/
¦ Л1 1 Л, . fti , ft.' А/ \ , , ш - ¦-7-г~, п гтт 1 kl ch -г