Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
сечения, определена с точностью до трех чисел - двух координат полюса О и
дуговой координаты точки А. Способ определения этих чисел приведен ниже.
Стесненное кручение под действием скручивающих моментов
В болыииистве практических случаев денланация не может свободно
развиваться. Она может быть стеснена депланационными связями (см. заделку
левого конца стержня на рис. 4, а) или самим способом приложения
скручивающих моментов (рис. 4. б; здесь среднее сечение стержня должно
оставаться плоским вследствие симметрии системы). С удалением от
источника стеснения депланаиия ра шиваетея псе более с но бодио.
В технической теории стесненного кручения принимают, что для перемещений
w остается справедливой зависимость (1). я которой, о.ч нако, производная
<р', служащая масштабом эпюры перемещении ал становится функцией
координаты г.
Стеснение депланации приводит к появлению системы нормальных напряжений
dv* "
-Д- = - Ец> ш.
(3)
419
кшорыс изменяются вдоль оси стержня (пропорционально производной ф") и по
контуру сечения (пропорционально секториальной площади со). Система
нормальных напряжений оы должна быть самоурав-новешенной, т. е.
удовлетворять условиям
f 0; f owydf = 0; f o(0rif = 0. (4)
If) if) (И
где dF = fids - элемент площади поперечного сечения; h - толщина стенки;
дг, у - декартовы координаты текущей точки средней линии поперечного
сечения.
Условия (4), выражающие отсутствие изгибающих моментов и продольной силы
в поперечном сечении, устраняют произвол в выборе положения полюса п
начала отсчета дуг.
Из первых двух условий (4) следуют формулы, определяющие координаты
полюса (центра изгиба) в системе 1лаоиых центральных осей инерции
поперечного сечения:
ох = - -j- J AF\ (5)
аУ - ~7~ f шх Jy J (F)
причем секториальные площади со определяются при любом полюсе и
отсчитываются от любого начала по дуге; и Jу - главные центральные
моменты инерции поперечного сечения.
Для сечений, имеющих две оси симметрии, центр изгиба совпадает с центром
тяжести поперечного сечения. Если сечение имеет одну ось симметрия, то
центр изгиба лежит на этой оси, но не совпадает с центром тяжести.
Третье из условий (4) приводит к соотношению
j* со dF = О, (7)
F
из которого может быть определено положение начала отсчета дуг (по
ложение нулевой секюриальной точки); в соотношении (7) секториаль-иые
площади определяются при полюсе в центре изгиба. Секториальную площадь,
определяемую при полюсе в центре изгиба и начале отсчета дуг в нулевой
секториальной топке, называют главной секторисиьной площадью. Если п> -
о> (s) - секториальная площадь, определяемая при произвольном выборе
начала отсчета дуг, то главную секториаль ную площадь находят из
соотношения
со = to J to dF. (8)
IF)
420
Тонкостенные и кривые стержни
Пользование соотношением (8) избавляет от необходимости еле циального
вычисления нулевой секториальиой точки.
Эпюры главных секториальиых площадей и координаты центра изгиба для
некоторых сечений приведены в табл. J.
Нормальным напряжениям о0, сопутствуют касательные напряжения Ти (рис. 5,
о):
т"> = ?9"%, (9)
|де
*
Sa j ы r!F. 110)
Величина Sa зависит от верхнего предела - дуговой координаты
s
текущей точки средней линии поперечного сечепия - и
называется
секториальным статическим моментом. При определении секториаль-ного
статического момента начало отсчета дуг s принимают у одного из краев
сечения. Согласно соотношению (7) секториальный статический момент всего
сечения равен нулю.
Система касательных напряжений та статически эквивалентна крутящему
моменту
/И*--?/"4/". (II) который представляет собой часть полного крутящего
момента В выражении (II)
./" = j (12)
F
- специальная геометрическая характеристика сечения, называем, н
секториальным моментом инерции. Произведение называют
секториальиой жесткостью. При вычислении секторнаямюго момсьга
инерции за полюс принимают центр изгиба.
Эпюры секториальиых статических моментов Sa и секториальные моменты
инерции приведены в табл. 2.
Другой частью полного крутящего момента является момент свободного
кручення; согласно формуле (2)
M*=GJK 9'. у 13)
Крутящему моменту /VI* соответствуют касательные напряжения г*,
развивающиеся по законам свободного кручения (рис. 5, б); максимальное
касательное напряжение
Из выражений (II) и (13) следует дифференциальное уравнение GJK , М
Ш*тт>
Тонкостенные стержни
42!
422
Тонкостенные и кривые стержни
2. Эпюры секториальных статических моментов и еекторналъмые моменты
инерции
Сечение Эпюра секториальных статических моментов
Сек гори а.чьный момент инернин
0) 41 ~Р". \вгт 16 W со- 24
ЦИ -If гг Ь) (в-bf"г 4 j IsSfifrtc) Ja g- (С-Зс) №Ь + + i*Jx
ре (П- _ Эс - 1 6) 1 чш Ж i , B3//*h В +2Н е> 12 // + 2В
с? 6 (sin 0 - Р cos р)* I Р - sin р cos Р J
Примечание. При одинаковых ширинах полок и одинаковых высотах сечений а -
в, наибольшей секториальной жесткостью обладает сечение а (в 2.45 раз
большей, чем сечение лив 1,44 раз большей, чем сечение б).
