Прочность, устойчивость, колебания. Том 1 - Биргер И.А.
Скачать (прямая ссылка):
dMH
Rdtp
mH - Z;
. dQ"
dijp
л dAlf) - . R ,.
Q'~~Td^ + M'-~
(fer -E X 'R', EeJe dbe
d<p
Соотношения деформаций
dv i dtp
(I = h. a).
(51)
Полученные соотношения представляют собой полную группу дифференциальных
уравнений решения задачи. Решение этих уравнений, имеющих 12-й порядок, в
замкнутом виде довольно громоздко, поэтому рекомендуется решение в общем
виде разыскивать в рядах Фурье.
Кольцевые системы с большим числом спиц
397
В качестве примера приведем решение задачи для системы нагруженной первой
элементарной нагрузкой по наружному кольцу (рис. 51)-Задаваясь усилиями
X. У и Z в виде
Р V1 Р V'
Л "'5r'Zja"cos"'p: К = 'нгг2/',':05'!,р:
а=Л
выражения для внутренних усилий по кольцам находят интегрированием
уравнений равновесия элементов колец: по наружному кольцу
Р I 3 , " "Уп + х,,
N"= йГ Г2"СС8Ф-Ф5ШФ + 2
L я"2
= ^I"Гsin Ф + ФС"Ф + 2У^Г
L и =2
COS Лф
sin А1ф
- COS ф f ф sin ф
Snxn-Ь Уп- ("8- ргп л (и2 - 1)
по внутреннему кольцу
Р V' "Уи 4- ^
у- = _ А у "у" + *" п Zj л!-1
/1 Р V* ,J*n + .
t2j "¦-! 51пяф:
/1=2
Рг '"о - Ул - (Л! -1) (г/l
'в ~ "ГГ , П
п (п2 - 1)
398
Расчет круговых колец и кольцевых систем
Из условий равновесия колец в целом и совместности деформаций находят
неизвестные коэффициенты хп, Уп. *л рядов. При л = ] коэффициенты х, у, =
г, = 0. При n^s 2 коэффициенты определяют из уравнений
л"(л^ - 1)~ г" ¦*"0|Л'*' ~ - 0з"г" +
- (я*- 1|(г" + (-1)"
л (л"
1 Л 2 ft\ 1 I \ R
х(' T'-R)y"+V T~r)~
+ n5 ',Vf пх" = 0-
пхп уп - (л8 - i) (*п -j- -р' Уп ^ в**" + Об Й(я*-Г>
3 Я
- "Йп - -5 j- - 0,
11
2л 4"
/53)
I E"JH R4 ' EcFc
/3 Е I
EcJc
?_ EyJ"
Rs ' ECJC
o4 =
jL ь^"
R* E"Je
3 ECJC : PEcFc ;
Of
3 r*R EtJc
i* * ад *
Если принять спицы нерастяжимыми, что часто допускается d расчетах
подобных систем, то решение уравнений (53) резко упрощается. В этом
случае следует положить ЕСЕС - оо н тогда аг = 0, а* - 0. В результате из
уравнений (53) получим
* --Г'' -Т- = -">"*
,">-l)[l0l + a"(l-^-.-5- л,)(| +4-Л,)]'
*> =¦['"* (1 --f'-Т-°') + "• (¦7 -) - л^т ]v-
Ряды в выражениях для внутренних силовых факторов по кольцам сходятся
достаточно быстро: обычно достаточно учитывать 2-3 члена.
Кольцевые системы с большим числом спиц
Внутреннее кольцо абсолютно жесткое
Если в системе спицы соединены с кольцами жео ко, а внутреннее кольцо
представляет собой абсолютно жесткую втулку (диск), то в этом случае
задача сводится к решению одного уравнения d*v Л d2v
- (*>о -г Ьо) V - ((f). (54)
Ьц - 4 Хз; - Хг 4" 12х.ч; Ь0 - 12 -- Ха;
К3 ?с./с
*а _ / '" /8 ' /* ' EhJH '
(55)
Решение этого уравнения
V- А0 ch рхф + Аг sh рхф + Az ch рф-cos Уф +
4- А3 ch рф sin Уф 4- Ал sh рф sin Уф -Ь Аь sh рф cos Уф + ц" (ф), (56)
где А. = ±р1иЯ, - ±р ± iv - корни характеристического уравнения л" + (2 -
bj + (1 - 2Ьл 4- Ьг) К2 - (Ьл + Ь0) = 0, (57)
а о*-частное решение неоднородного уравнения. Постоянные At определяют из
условий стыка. Усилия по кольцам находятся согласно формулам (51), а
усилия и моменты по спицам (при числе п ^ 20) - по формулам
.. 2л REFC Л 2*RECJC ( I Л \
/Vc = д-аг. <Ь = -12- "р (tw-T"4;
. 2 SlRF.Jc ( . I А \
(5Л)
При малом числе спиц эти величины следует вычислять интегрированием
соответствующих выражений по длине участков. Ниже приводятся решения
нескольких частных задач.
На обод колеса действует первая элементарная нагрузка (см. рис. 51). В
этом случае PR8
"= л и",+ 6,) &/. 1'4'-sh и,ф + Лс|' №sin v<f +
-(- Аь sh рф cos уф 4- sin ф}.
PR3
ш = я!h + b'j'e"/. (м'ch ,1,ф + А' (t"sh "ф-5ln v<f +
4-vch рф-cosУф) -|- Аъ (pch рф-cos уф - v-sh рф-sin уф) -|- со$ф}}
i
400
Расчет круговых колец и кольцевых cuctne и
IihW + OV" Й1Ф+ [и (ц2
- 2pv2] (Л8зЬ рф-sin v<p+ ЛБсЬ p<f.eos v<p) +
-|- [v (3jx(r)- va + 1)J H3ch рф-cos vф-- Ab sh рф-sln v<j)j;
здесь
Л Я 1
Л, =
2 sh р,л 2 (p2 - v2) - И? + 1 1 '
(p2 + v'2 + ")s - 4v* _ jiJ + l
(р2 - v2 - u<) sh р.дrcos vn -j- 2pv ch pn. sin vn A3 - x*sh {ЛхД 2цv
(sh2 ря - sin2 vn) *
2pv .sh pn.cos vn- (p2 - v2 - p2) ch pn-sin vn A" Л, shpn 2pv
(sh(r)pn + sin2 vn) '
Максимальные усилия в спицах и изгибающий момент в кольце
Nc ¦" - - (ьгтаЬг/ Ai а^я> •V - V2 - И? 1
sh рхя 2р Лх sh рхЯ
PfMx-sh р,я I / ¦> ,v ch ргл /2 ^ 2 .
Мш"-'Г(6" + б") ['*¦ (и _H)'iFTl^rrtl(,r"3v +1)н
+ (3n3-v*+l) -
2ц
В работе [12] показано, что вместо уравнения (54) можно пользоваться
уравнением
W + (2-b°)W + ('~2b'+b*)JW = Ш)' т
решение которого записывается в более простом виде
v = А0 + Лхф -Ь Л2 ch рф*cos г'ф -J- Л3 ch рф-sin vф -
+ Л4 sh рф-sin Уф + Л5 sh рф-cos wp -f- о* (ф), (60)
где
Й - \ \ [ \ГГ~Ь^Ь, - ;
v. |/^[/,тта-2.;тЦ^].
Кольцевые системы с большим числом спиц
>101
На обод колеса действует сосредоточенная радиальная сила, уравновешенная
нагрузками по диску (рис. 52). Тогда в силу симметрии Ай - Аъ~ =. = 0 и
ввиду отсутствия внешней распределенной нагрузки
t>* = О, при этом
w - Л, 4- Л3 (р • sh рф-sin Уф -р v-ch рф-cos v-ф) +
+ Аь (р ch рф - cos \'ф - v - sh рф cos vq>);
