Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
(1.5.8)
Теперь, умножив (1.5.6) на б Hi, произведя суммирование по всем трем компонентам и проинтегрировав результат по объему т, получим:
Ш (s ^bHi+t dz=°• {1 -5-9) 26
с понятием «порога разрешимости». Это понятие более подробно описано в приложении (§ А.4). В этом смысле уравнения Лагранжа дают точную формулировку физического процесса. Они имеют также еще одно преимущество— выявляют фундаментальные математические особенности задачи. Кроме того, используемый метод инвариантен к системам отсчета и любому частному представлению неизвестных.
Уравнения Лагранжа как метод приближенного анализа. Естественно предположить, что решение многих задач принадлежит к классу функций с одним или -более неизвестными параметрами. Например, можно ожидать, что неизвестное поле, зависящее от времени, принадлежит к классу функций
где q\ и Цг — неизвестные параметры, являющиеся функциями времени и играющие роль обобщенных координат. Можно также сказать, что вариации 6Н подчиняются голономным связям с двумя степенями свободы, соответствующими двум произвольным вариациям 6qb б^2. Вариационный принцип остается справедливым для этих вариаций и приводит к двум дифференциальным уравнениям Лагранжа для определения зависимых от времени q\ и q2- В физике и технике некоторые характерные решения часто известны заранее, например интуитивно, из прошлого опыта или из математических требований к решению. В этих случаях формулировка Лагранжа дает метод, который концентрирует внимание исключительно на неизвестных характеристиках и представляет поэтому эффективное средство приближенного анализа при решении сложных практических задач. Следствия этого подхода также рассматриваются в приложении (§ А.4).
1.5. АНИЗОТРОПНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
До сих пор мы рассматривали теплопроводность в изотропных средах.
Сейчас переходим к рассмотрению анизотропной теплопроводности. В этом случае удобнее выразить поле теплового смещения Н через его компоненты
Н = Н(<7ь <72, х, у, г),
(1.4.18)
Hi = Hi(x, у, z, t).
Уравнения (1.2.2) и (1.2.3) запишутся в виде
(1.5.1)
(1.5.2)
(1.5.3)
25
Потребовав, чтобы выражение
Р = D — 2 Xjiji (1.4.13)
было минимальным при изменении qit получим эквивалентный вариационный принцип. Тогда из него также следует уравнение (1.4.9).
Легко проверить, что описанные вариационные принципы справедливы и в том случае, если Н содержит время в явном виде. Однако физическое объяснение становится более сложным, так как дг= О не соответствует теперь статическому равновесию.
Вернувшись к уравнению теплопроводности (1.2.4), легко получить для него вариационный принцип, тесно связанный с приведенными выше формулами,
grad 0 -{—Н = 0. (1.4.14)
Рассмотрим выражение
^ = jjj(Hgrad0+^-H2)dx, (1.4.15)
где т — объем тепловой системы. Из условия минимума Р при изменении Н следует уравнение теплопроводности (1.4.14). Это аналогично минимизации Р в уравнении (1.4.13). Легко показать, что закон теплопроводно-
сти получается из условия минимума величины
в=тЩтй% <L4-16>
при условии
Н grad 0^х= const. (1.4.17)
Сравнив (1.4.17) с уравнением (1.4.11), увидим, что grad 0 играет роль силы локально неравновесного состояния. Эти результаты легко обобщаются на случай анизотропной теплопроводности.
Фундаментальное значение уравнений Лагранжа. Как указывалось в предыдущем параграфе, теоретически всегда можно выбрать конечное, хотя и большое число, обобщенных координат таким образом, что физическая система будет описана полностью в соответствии
24
Выражение D+ — диссипативная функция поля Н+. Это поле также определяет 0 [уравнение (1.6.5)]. Слагаемое Q+i выражает обобщенную движущую силу, обусловленную источниками тепла.
Аналогичные результаты получаются для более общего случая анизотропной теплопроводности с помощью выражения (1.5.18), используемого для диссипативной функции.
Классические уравнения теплопроводности при наличии источников тепла. Приведенные результаты получены из уравнений (1.6.2) и (1.6.(10), рассматриваемых в отдельности. Исключив поле Н из этих двух уравнений, получим классическое уравнение температурного -поля при наличии источников тепла
с = div (k grad 8) + w. (1.6.19a)
Аналогичное уравнение для анизотропной теплопроводности можно получить, заменив уравнение (1.6.10) уравнением ¦ ( 1.5.4)
с4г= (1'6Л9б)
1.7. ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР
Применение этих результатов можно проиллюстрировать решением следующей задачи, из которой станут понятны некоторые характерные особенности данного метода.
Рассмотрим пластину толщиной I с постоянной теплопроводностью k и объемной теплоемкостью с. Начальная температура пластины 0=0. В момент (=0 одна сторона 'пластины при х = 0 мгновенно достигает постоянной температуры 0 = 0о. Другая сторона х = 1 теплоизолирована.
Разделим тепловой процесс на две фазы. В -первой фазе будем считать, что нагрев происходит по толщине x — q\, меньшей толщины пластины /, и температурное поле хорошо аппроксимируется выражением
Эта параболическая аппроксимация показана на рис. 1.1 (кривая 1). Проникновение тепла по толщине q\ есть обобщенная координата, определяемая как функция времени.
