Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
11
Как и раньше, уравнение теплопроводности имеет вид:
grad 0 —|—Н = 0. (1.6.10)
Уравнения (1.6.9) и (1.6.10) тождественны уравнениям (1.2.3) и (1.2.4). Кроме того, можно записать:
(1.6.11)
dQi dqt\ V
что аналогично уравнению (1.4.2). Поэтому, применяя такие же преобразования, как в § 1.3 и 1.4, получаем уравнение Лагранжа:
f-+if=Q'- <>-6Л2>
Тепловой потенциал V есть функция неизвестного поля Н+, выраженного по уравнению (1.6.5) через 0. Рассмотрим этот частный случай диссипативной функции. Для изотропной теплопроводности она равна:
я=4-
(1-6ЛЗ)
где
Н = Н++Н* (1.6.14)
и
й+ Ж-л дн+ • . (Щ + /1 с 1С\
н ^ ( }
В результате получим:
О-6-16)
dqt dqt
D+==^IW^(h+)2^’ (1'6Л7)
«*'=-1Ят^И'л- О-6-1*)
где
Используя эти определения, получаем уравнения Лагранжа (1.6.12) в виде
fr+|r=Ql+Q+l- (1-6Л9)
30
Скорость тепловыделения в единице объема в единицу времени обозначим:
w=w(x, у, г, t). (1.6.1)
Она считается заданной функцией, которая может зависеть от времени и координат. Теплоемкость с(х, у, z) также может быть функцией координат. Запишем закон сохранения энергии в виде
t
с0 = — div Н -|- j" wdt. (1.6.2)
о
Выразим тепловое смещение Н в виде суперпозиции двух отдельных полей
Н = Н++Н*, (1.6.3)
где Н* удовлетворяет уравнению
t
div Н* = J w dt. (1.6.4)
о
Это уравнение не определяет Н* однозначно, поэтому необходимо выбрать любое поле, удовлетворяющее уравнению (1.6.4). Тогда такое поле может рассматриваться как заданная функция времени и координат. Подставив Н в уравнение (1.6.2), получим:
с0 =—div Н+. (1.6.5)
Неизвестное поле Н+ считается функцией обобщенных координат
H+=H+(qu <72, .... Чп, х, у, г, t). (1.6.6)
Будем рассматривать уравнение (1.6.5) как голоном-
ную связь, справедливую при всех произвольных вариациях поля. Отсюда
cS0 = —div SH+. (1.6.7)
В действительности изменяются только обобщенные координаты, так что вариации SH+ и SH равны, т. е.
i
8H+ = 8H = 2J-|1L8<7*. (1.6.8)
Следовательно, можно записать уравнение (1.6.7)
с60 = —divSH. (1.6.9)
29
Это выражение определяет диссипативную функцию при анизотропном коэффициенте теплопроводности. Используя это определение D, получаем объемный интеграл в выражении (1.5.10) в виде ц k
(1‘5л9)
С другой стороны, можно записать:
k
SV = V— (1.5.20)
Термодинамическую силу Q& можно определить в виде, аналогичном уравнению (1.4.7), положив k i
2 = — j J S ^nibHidA’ (1.5.21)
где
Qk=~nijfni^tdA (l5‘22)
A
Поскольку 6<7й — величина произвольная, подставив значения (1.5.19), (1.5.20) и (1.5.21) в уравнения
(1.5.10), получим:
с-5-23*
Таким образом уравнения Лагранжа i( 1.4.6) обобщаются для анизотропной теплопроводности.
Удельная объемная теплоемкость с(х, у, г) может быть функцией координат. Как и для изотропной теплопроводности (§ 1.2), результаты для анизотропной теплопроводности также применимы к задаче с подвижными границами, а также к теплопроводности как функции времени и координат.
1.6. ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА
Применим полученные результаты к системе с тепловыми источниками. Для упрощения записи примем изотропную теплопроводность, что можно сделать без потери общности, поскольку методика одинакова как в случае изотропной, так и анизотропной теплопроводности.
28
Интегрирование по частям с учетом уравнений (1.5.3) и (1.2.8) дает:
8У+Щ (2Я^8Я^Т==- f (1-5Л0)
где Пг — компоненты единичной внешней нормали к ограничивающей поверхности А, а V — тепловой потенциал, определяемый уравнением (1.2.8).
Рассмотрим поле теплового смещения, описываемое п обобщенными координатами qk. Компоненты этого поля запишутся в виде
Hi = Hi{qu <72, •Яп, х, у, z, t). (1.5.11)
Получим:
(,-5л2>
Следовательно,
dHt dHj дЧк ~~dqh
(1.5.13)
8’- (L5'14)
Теперь рассмотрим интеграл по объему в уравнении
(1.5.10). Используя выражения (1.5.14), преобразуем в нем подынтегральное выражение к виду
ХцН]ЬНг = ^ XnHj — 6<7h. (1.5.15)
Теперь используем свойство взаимности
hj=--hi- (1.5.16)
Учитывая это соотношение, можно переписать уравнение (1.5.15) в виде
lijHibHi = XiiHiH^. (1.5.17)
Положим
Обозначим координаты х, у, z через xt. При анизотропном коэффициенте теплопроводности уравнение теплопроводности имеет вид:
+ = (1-5.4)
где kij — тензор коэффициента теплопроводности.
Важное свойство коэффициента теплопроводности выражается соотношением
kji’ (1.5.5)
Следовательно, кц — симметричный тензор, состоящий из шести независимых компонент. Это свойство вытекает из принципа Онзагера. Уравнение (1.5.5) можно считать частным случаем соотношений взаимности Онзагера. Экспериментальной проверкой установлено, что эти свойства обычно справедливы в отсутствие сильного магнитного поля.
Для вывода вариационного принципа необходимо записать уравнения (1.5.4) в форме, аналогичной (1.2.4). Отсюда можно найти решение уравнений (1.5.4) для трех компонент градиента температуры.
Получим:
м <^а«й = о. (1.5.6)
Компоненты тензора Хц являются элементами обратной матрицы [&jj]:
[*«] = [*«]-*• (1-5-7)
Тензор Kij представляет собой тепловое сопротивление. Этот тензор также симметричен. Следовательно,
