Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Принципы, излагаемые в этой главе в связи с теплопроводностью, составляют частный случай общего метода линейной термодинамики необратимых процессов, разработанного автором в 1954 г. [Л. 1-1], [Л. 1-5], Было показано, что большой класс необратимых процессов может быть описан обобщенными координатами, соответствующими тем же уравнениям Лагранжа, которые, ис-
14
Глава первая
ОСНОВНОЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1.1. ВВЕДЕНИЕ
Для того чтобы познакомить читателя с основными понятиями и методами, представленными в этой книге, мы ограничимся в первой главе рассмотрением теплопроводности в системе со свойствами, не зависящими от температуры. Такая система является физически линейной. Более общий случай нелинейной среды с зависящими от температуры свойствами будет рассмотрен в гл. 5.
Основное понятие о поле теплового смещения вводится в § 1.2. Это понятие приводит к основному вариационному принципу, который вначале излагается в связи с изотропной теплопроводностью. Для этого случая характерны две основные особенности, которые естественно вытекают из понятия теплового смещения. Первая особенность состоит в том, что температура и тепловое смещение являются сопряженными переменными, аналогичными силе и движению в механике. Второй особенностью является то, что закон сохранения энергии тождественно выполняется при выборе переменных систем в виде, аналогичном голономной связи в механике. Одно из преимуществ такого подхода заключается в особом виде соответствующего вариационного принципа, с помощью которого можно приблизительно проверить закон теплопроводности, удовлетворяя закону сохранения энергии.
Важной особенностью данного метода является возможность применения принципа виртуальной работы и понятия обобщенной силы в термодинамике.
Полученный таким образом вариационный принцип можно назвать основным в отличие от дополнительного. Существование этих двух форм вытекает из аналогичной двойственности в классической механике, где основные вариационные принципы выражают движения, а допол-
13
конвекцией. Операционная формулировка, а также методы взаимовлияния и конечных элементов рассматриваются с точки зрения дополнительных принципов.
В восьми главах книги рассмотрение ведется только на примере переноса тепла. Однако как физические, так и математические аспекты данного вопроса гораздо шире. Поэтому, чтобы показать другие возможности метода, в книге дается приложение. Показано применение вариационного подхода в таких областях физики, как массообмен и термодинамика необратимых процессов. Приводится иллюстрация применения метода Лагранжа к анализу задачи термоупругости. Очевидна также возможность применения данного метода к вязким жидкостям при использовании классической диссипативной функции Релея. Аналогичные методы можно применять также для описания электромагнитных явлений. Показаны более широкие математические возможности анализа, основанного на понятии скалярного произведения. Данное понятие представляет собой эффективное средство преобразования в функциональном пространстве. Оно включает такие методы, как преобразование линейных дифференциальных уравнений в нелинейные с помощью координат типа глубины проникновения. Такое рассмотрение дает возможность свести в единую систему различные методы, известные в прикладной математике под разными названиями. Кроме того, существование порога разрешения в физических задачах позволяет дать более реалистическое определение понятия полноты для обобщенных координат, которое учитывает дискретный характер вещества в противоположность математической модели континуума.
границе единичного потока тепла при условии, что вне этой точки граница является адиабатической. Когда функция влияния известна, можно с помощью уравнений Лагранжа полностью сформулировать задачу теплопроводности, включая конвекцию на границе. В этом случае также применяется метод сопряженных полей. Второе приближение заключается в рассмотрении неподвижного твердого тела и движущейся жидкости, представленных как единая система. В этом случае, используя определение диссипативной функции, учитывающей конвекцию, получают вариационные принципы и уравнения Лагранжа для всей системы.
Задача переноса тепла в пограничном слое, рассматриваемая в гл. 7, представляет особый практический интерес. В этой задаче вариационным методом может быть рассчитана функция влияния, позволяющая определить характеристики переноса тепла. По аналогии с методами расчета теплопроводности проводится анализ конвекции в пограничном слое. Эта аналогия позволяет провести такой анализ задачи, в результате которого определяются как важные физические свойства, так и основные различия между ламинарным и турбулентным режимами. Этим режимам соответствуют две различные по виду функции влияния универсального характера. Такой подход дает простые, но имеющие физический смысл методы решения многих технических задач, к которым, например, относятся задачи теории теплообменников и аэродинамического нагрева.
В гл. 8 рассматриваются дополнительные принципы. Обычно физические системы могут быть описаны переменными двух видов, называемых интенсивными и экстенсивными. В механике, например, такая двойная система переменных представлена силами и связанными с ними смещениями. Вариационные принципы, выраженные через смещения, ведут к дополнительным принципам, выраженным через силы. В случае только тепловых явлений температуру и тепловое смещение можно рассматривать соответственно как интенсивную и экстенсивную переменные, что по аналогии с механикой ведет к двойственности, когда вариационные принципы могут быть выражены, как и в предыдущих главах, через тепловое смещение или в дополнительном виде через температуру. Эти дополнительные принципы выводятся для линейных и нелинейных систем с теплопроводностью и
