Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
6п 5Н dA. (1.2.9)
А
2—1050
17
да мы рассмотрим закон сохранения энергии
с0 = —divH, (1.2.2)
где 0 — температура.
В таком виде он не содержит производной по времени и может рассматриваться как голономная связь. Сле-
довательно, уравнение (1.2.2) должно рассматриваться как нечто большее, нежели соотношение, которое следует проверять физическим решением. Это соотношение должно также выполняться для вариаций 6Н и 60. Поэтому можно записать:
с60=—div(flH). (1.2.3)
В рассматриваемом методе производная по времени используется в уравнении теплопроводности, имеющем вид:
grad 6 —|—Н = 0. (1.2.4)
Уравнения (1.2.2) и (1.2.4) дают полную формулировку задачи теплопроводности при заданных ограничениях.
Вариационные принципы получаются следующим образом. Рассмотрим вариацию бН поля Н и соответствующие вариации 60 при условии (1.2.3). Умножим уравнение (1.2.4) на 6# и проинтегрируем по объему среды т. Тогда получим:
Vade-f-j-H^8HrfT = 0. (1.2.5)
Ш(«
Интегрирование первого члена по частям дает:
як- 0 div (SH) —J—HSH^ 0n 8Н сМ, (1.2.6)
* Соотношение (1.2.2) аналогично уравнению баланса тепла. Вектор Н является вектором плотности потока тепла, т. е Н =
= ? Н dt. Согласно закону сохранения энергии имеем: о
дв д с —div Н = — div Н.
д
В последнем равенстве изменен порядок операции и dlv. Умножая обе части равенства на di и интегрируя полученное соотношение по t (от 0 до /), получаем с9= — div Н. (Прим. ред.)
16
пользуются в классической механике диссипативных систем. Эти результаты применимы к термодинамической системе с неравномерным распределением температуры, что было приведено в статье [Л. 1-2], в которой рассматривался частный случай связанной термоупругости. Линейная теплопроводность рассматривается как частный случай процесса теплообмена в общей термодинамике. Это приложение к задачам теплопроводности было подробно рассмотрено в статье автора [Л. 1-3]. Анализ, проведенный в данной главе, основан главным образом на материале [Л. 1-3].
1.2. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Рассмотрим твердое тело с изотропными теплофизическими свойствами, не зависящими от температуры. Среда может быть однородной и неоднородной. В последнем случае теплопроводность k (х, у, z) и удельная объемная теплоемкость с(х, у, г) являются функциями координат (х, у, г). Теплоемкость, отнесенная к единице объема, в отличие от общепринятой, отнесенной к единице массы, вводится для того, чтобы избежать использования плотности р, поскольку она не играет никакой роли в тех явлениях, которые рассматриваются в данной книге.
В классическом описании тепловых явлений используется температура в качестве скалярного поля. Основная особенность данного вариационного метода заключается в введении векторного поля в основные законы теплопроводности. Это векторное поле Н(х, у, z, t), которое мы назовем тепловым смещением, является функцией времени и координат. Оно определяется уравнением
Н = -~Н(х, у, z, t), (1.2.1)
где Н, есть вектор, представляющий локальную плотность потока тепла на единицу площади. Следовательно, вектор Н является интегралом по времени от вектора плотности потока тепла Н.
Принципы, по которым была выбрана такая форма для описания теплового потока, станут понятными, ког-
15
нительные — силы. Эти дополнительные принципы будут рассмотрены в гл. 8.
Еще одним важным преимуществом основного вариационного принципа является отсутствие в его формулировке какой-либо пространственной производной температуры. Это повышает точность приближенных решений. Достигается также большая гибкость при выборе таких решений, поскольку в приближенное представление температурного поля могут вводиться скачки. Сам температурный градиент не требует подгонки.
Пользуясь понятием обобщенных координат и вариационным принципом с помощью выражений, аналогичных механическим силам и потенциалам, а также диссипативной функции Релея, приходят к дифференциальным уравнениям типа Лагранжа. Принцип минимальной диссипации получается как следствие. Основное значение обобщенных координат как способа полного описания физической системы обсуждается в связи с рассмотрением дискретной молекулярной структуры.
Эти результаты получены в § 1.3 и 1.4. В § 1.5 они обобщаются на случай анизотропной теплопроводности. Определение диссипативной функции для этого случая требует применения термодинамики необратимых процессов, в основе которой лежат соотношения Онзагера. Введение непрерывно распределенных источников тепла рассматривается в § 1.6. Для этого случая выводятся соответствующие уравнения Лагранжа.
В последнем параграфе результаты применяются для простой задачи о нагревании пластины, которая хорошо иллюстрирует точность и гибкость данного метода. В частности, показано, насколько упрощается задача при использовании понятия глубины проникновения в качестве обобщенной координаты в начальной фазе процесса. Хотя система является физически линейной, начальная фаза описывается в таком случае нелинейным уравнением, а вторая фаза — другими координатами, что ведет к линейным уравнениям.
