Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ
Вариационный принцип (1.2.4) приобретает новый смысл, если выразить его с помощью обобщенных координат. Представим поле Н в виде
H = H(qu qz, ..., qn> х, у, zy t). (1.3.1)
Иными словами, будем считать, что это поле является заданной функцией пространственных координат х, у, z, времени t и некоторого числа параметров qit qz, ¦ ¦ -, qn¦ Эти параметры есть неизвестные функции времени, которые можно считать обобщенными координатами, представляющими поле Н. Мы можем использовать конечное число qi или бесконечное счетное множество координат в зависимости от типа задачи и необходимой точности представления неизвестного поля. В частности, можно выбрать линейное представление в виде конечного или бесконечного числа рядов. В этом
случае можно записать:
i
н=2?гЯг(*> У. Z, 0 (1.3.2)
или
н — 2qtHi у’ (1 -3*5)
2*
19
дет показано в следующем параграфе при введении обобщенных координат.
Теплопроводность, зависящая от времени. Приведенный вывод вариационного принципа остается справедливым и в том случае, когда коэффициент теплопроводности является функцией не только координат, но и времени
k = k(x, у, z, i). (1.2.10)
Это замечание весьма, полезно не столько потому, что такое свойство имеет место в физической реальности, сколько в связи с другими явлениями, приводящими к математически эквивалентным уравнениям с коэффициентом теплопроводности, зависящим от времени.
Система с подвижными границами. Вариационный принцип (1.2.9) применим также к системам с подвижными границами. Это следует из того, что интегралы по объему и поверхности распространяются на мгновенные геометрические конфигурации, которые отличаются друг от друга в разные моменты времени. Следовательно, вариационный принцип является формулировкой закона, который управляет распределением плотности теплового потока Н в любой момент времени для данного распределения температуры 0. Поэтому вариационный принцип можно использовать для решения задач теплопроводности для систем с подвижными границами.
Уравнение Фурье. В данном анализе тепловое поле описывается двумя уравнениями. Уравнение (1.2.2) описывает закон сохранения энергии, а уравнение (1.2.4) — закон теплопроводности. Это разделение есть прямой результат введения векторного поля теплового смещения Н в качестве дополнительной переменной. Исключив Н из уравнений (1.2.2) и (1.2.4), получим:
дЬ
div (k grad 0) = с . (1.2.10а)
Это хорошо известное уравнение Фурье, используемое обычно для описания переноса тепла. Оно объединяет закон сохранения энергии и закон теплопроводности в одно уравнение. Однако во многих случаях предпочтительнее использовать два отдельных уравнения (1.2.2) и (1.2.4). В частности, такое разделение приводит к вариационному принципу (1.2.5), с помощью которого можно приближенно проверить закон теплопроводности при строгом выполнении закона сохранения Э1 ергии.
Обобщенные вариационные методы. Вариационный принцип, выраженный уравнением (1.2.9), следует понимать в более широком смысле, выходящем за рамки традиционных понятий вариационного исчисления. Эта
18
где п —единичный вектор внешней нормали к ограничивающей поверхности А. Из уравнения (1.2.3) выводим:
JJj* 6div (8Н) dz = J J J сЬ 80 d-z = bV. (1.2.7)
Скаляр V определяется как
(1.2.8)
Он играет роль потенциала, что станет яснее при рассмотрении этой величины в связи с введением обобщенных координат в § 1.3. Подставив б У в уравнение (1.2.6), получим:
Это выражение является вариационным принципом для теплопроводности*. Уравнение (1.2.9) должно выполняться при произвольных вариациях поля Н, где 0 определяется как функция Н соотношением (1.2.2). Таким образом, вариационный принцип (1.2.9) является уравнением теплопроводности (1.2.4), для которого закон сохранения энергии (1.2.2) выполняется автоматически.
Интеграл по объему (1/6) Н6Н имеет важный физический смысл, связанный с понятием диссипации, что бу-
* Вариационное уравнение ,(1:2.9) получено на основе соотношения вариационного принципа (1.2.5), где вариация производится по вектору Н. Такое выражение вариационного принципа в теории теплопроводности аналогично вариационному принципу Журдена в аналитической механике, где вариация функции принуждения производится по скорости (вектор Н является аналогом скорости х). В вариационном принципе Даламбера — Лагранжа вариация производится по координатам (х), а в наиболее общем принципе Гаусса вариация функции принуждения производится по ускорению (?'). Принцип Гаусса применим к голономным и неголономным системам, связи в которых могут быть и нелинейными относительно скоростей [Л. 1-12]. Применение вариационного принципа Гаусса в теории теплопроводности, где вариация производится по плотности потока тепла Н (вектор плотности теплового потока Н является аналогом ускорения ?'), рассматривается в работе [Л. 1-13]. Если вариацию производить по термодинамическим силам ув |(градиент температуры у0 является аналогом силы х в механике), то получим вариационный принцип Дярматы в термодинамике необратимых процессов {Л. ‘1-14]. Другие возможные формулировки задач переноса содержатся в {Л. 1-15—1-17]. (Прим. ред.)
