Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Проинтегрировав уравнение (7.3.6) по у от у=0 до у=°°, получим:
д! , f дЪ \
|7'3'7)
где
00
/ (х) = j* cUB dy. (7.3.8)
о
При выводе этого уравнения принималось, что дЪ/ду стремится
t / (50 \
к нулю при у — оо. Выражение — «I I является скоростью при-Поэтому можно записать:
(7-3'S)
тока тепла в жидкость. Поэтому можно записать: д1 дх
10—1050 145
РДе &(•*) равйа нулю всюду, за исключением Произвольно Малой
области в окрестности —(§<*<(§, причем S(jt) обладает следую-
щим свойством:
j 9(x)dx=l. (7.3.10)
—<?
Такая функция Дирака 6(х) означает, что единичная скорость притока тепла сосредоточена в точке jc = 0.
Рассмотрим функцию /(*). Проинтегрировав уравнение (7.3.9) по х, получим:
х
/ (х) = J 9 (х) Же = 1. (7.3.11)
е
Заметим, что /(—<§) =0, поскольку 0 стремится к нулю вверх по потоку от точки ввода тепла. Следовательно, в соответствии с соотношениями (7.3.8) и i(7.3.11) можно записать:
00
§cU6dy= 1 при х> 1. (7.3.12)
о
Эти уравнения можно объяснить с помощью аналогии теплопроводности. Уравнение (7.3.6) является одномерным уравнением теплопроводности в твердом теле с теплоемкостью cU и теплопроводностью k при переменной времени t = x. Твердое тело занимает область у>0 с плоской границей у=0. На границе при у = 0 в момент t=0 поступает единица количества тепла на единицу площади поверхности; после этого граница тотчас же теплоизолируется и происходит диффузия тепла в твердое тело. Общее количество тепла, в соответствии с уравнением (7.3.12) равное единице, не изменяется.
Для того чтобы использовать вариационный метод для решения этой аналоговой задачи, примем следующее температурное распределение:
8=w(1~V')(i/<:‘?)’ (7'ЗЛЗ)
удовлетворяющее условию постоянства интеграла (7.3.12). Тепловой потенциал этой аналоговой задачи будет:
У = -Гси^Чу = -^. (7.3.14)
о
Величина Н равна:
Г 3 У . 1 У3
H = cU j 9^ = l--2--f- + ^-^T • (7-3.15)
у
146
Диссипативная функция запишется: я
If. 3 q*
D= ~W) НЧУ =^5Гд’ (7'ЗЛ6)
о
dq
где q ~, поскольку jc играет роль переменной времени. Термо.
динамическая сила Q равна нулю, так как граница изолирована. Математически это выражается свойством 6Н=0 при у= 0. Отсюда имеем уравнение Лагранжа
dV , 3D
<7317>
Подставив в него значения V и D из уравнений (7.3.14) и
(7.3.16), получим дифференциальное уравнение
2w = J-W’ (7'ЗЛ8>
Произведя интегрирование с начальным условием q = 0 при
х—0, получим:
7kX (7.3.19)
/¦
cU
Температуру на границе найдем, положив в выражении (7.3.13) У=0:
9=-W^ (7-3-20)
Подставив в это выражение величину q из (7.3.19), будем иметь:
1
=-. (7.3.21)
28
У —g— cUkx
Эта температура является функцией влияния для притока тепла при |=0. Запишем ее в виде
Г(х) = --/Ж--------------’• (7-3-22)
У -g- CUkx
Поскольку поле течения не зависит от х, функция влияния для притока тепла на абсциссе | равна п(х—?).
Этот результат можно сравнить с точным решением. Следующая функция является решением уравнения (7.3.6):
1 г/ cUy2 \
<7-3-23>
VncUkx
Это выражение удовлетворяет также условию постоянства величины интеграла (7.3.12). Точное значение функции влияния, полученное подстановкой у= 0 в (7.3.23), будет:
'w-idar* (73-24)
10* 147
о t
Рис. 7.1, График зависимости 0' = 0 VKcUkx от y/q.
1 — параболическая аппроксимация (7.3.13); 2 — точное распределение Гаусса (7.3 23).
Сравнив приближенную величину (7.3.23) с выражением (7.3.'24),
/2g
— =11,765, а во
втором V я= 1,772. Следовательно, погрешность приближенной оценки составляет менее 0,5%.
Можно также сравнить приближенное и точное температурное распределение в жидкости по выражениям (7.3.1-3) и (7.3.23). Они представлены на рис. 7.1 для одномерной задачи в безразмерном виде 0' = 0)/" ncUkx. Интересно отметить, что даже при довольно грубом приближении температурного распределения в жидкости получается высокая точность для функции влияния.
7.4. ОБЩИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Зная функцию влияния, можно рассчитать теплообмен в пограничном слое. Использование этой функции в типичных задачах пограничного слоя будет рассмотрено в § 7.7.
Общие вариационные методы для расчета функции влияния получим с помощью определенной стандартной аппроксимации, используя безразмерные параметры и переменные, соответствующие основным физическим свойствам.
Прежде всего возьмем параллельные линии тока и покажем, каким образом можно обобщить этот метод на случай непараллельных линий тока. В анализе положим 0а=О. Поскольку принцип суперпозиции применим, это условие не ограничивает общности результатов.
Параллельные линии тока и ламинарное течение. Аналогию теплопроводности получим, положив в уравнении (7.2.4) v—0
д9 , <Эа0 ,.
СиШ^к~д?- <7-4Л>
148
Профиль скорости в пограничном слое имеет вид:
Функцию влияния можно найти, приняв плотность теплового потока на границе при х=0 равной единице. Используем некоторые приемы, описанные в § 7.3. В данном случае вместо условия (7.3.12) запишем:
при х>0.
Уравнения (7.4.4) и (7.4.5) представляют аналогию теплопроводности в среде с неравномерной теплоемкостью с'(у) и суммарным теплосодержанием, равным единице. Аналогию теплопроводности можно сформулировать в безразмерном виде, положив
