Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим стационарное двумерное течение несжимаемой жидкости. Для постоянных теплоемкости и теплопроводности температурное поле удовлетворяет следующему уравнению:
дв , , дв , ( д29 | д28\ /7 о м
cuW+cvW=k{d^+w)- (7‘2Л>
Компонентами поля скорости будут:
и = и(х, у)\ v = v(x, у), (7.2.2)
а свойство несжимаемости выражается уел зием
(7.2.3)
дх 1 ду 4
Обычно при анализе конвективного теплообмена пре-
дЧ
небрегают величинои теплопроводности ^ в направлении течения [Л. 7-3]. В результате получается упрощенное уравнение
= <7-2-4>
Аналогичное уравнение получается для турбулентного течения, если ввести понятие «эффективной теплопроводности»
k' = k + cg(x, у), (7.2.5)
где (§ (х, у) — коэффициент турбулентной диффузии, обусловленный турбулентностью. Вихревая диффузия принимается изотропной. Поскольку <g—функция координат, k' не является постоянной и уравнение (7.2.4) принимает вид:
<?0 , дв д /,, дв \ ,п 0 cud7+cvw=dT ГVJ- (7-2-6)
Ламинарное течение рассматривается как частный случай при <§ =0. Уравнение (7.2.6) получено автором в еще более упрощенной форме в недавно опубликован-
142
ной работе [Л. 7-2] с помощью метода, йвляющегосй обобщением преобразования Мизеса *.
Перейдем к новым переменным
х'=х'(х, у) - у'=у'(х, у). (7.2.7)
Переменные х' и у' рассматриваются как криволинейные координаты. Выбираем функцию у' таким образом, чтобы значение ее было постоянным вдоль линии тока. По определению
“Э7+»|:=0- <7-2'8>
а также
<Э0__б0_ дх’ , дв ду'_ <Э0 _<Э8 дх' < дЬ ду' ~
дх дх' дх ' ду' дх ’ ду дхг ду ду' ду ( • • /
Рассмотрим частный случай преобразования (7.2.9), положив
* = ТГ=0- (7-2-10)
Объединив уравнения (7.2.8) — (7.2.10), получим: дв , <Э0 d0 <Э8 дв ду'
udT+vdF = uM- <7-2Л1)
Положим:
ду’
(7.2.12)
ду а (XУ') ’
Теперь можно записать уравнение (7.2.6) в виде
дв __ д f k' дв \ п _
сиадх,’ ~ду' (7.2.13)
Вместо х' можно записать также
_ д fk’ дв \ с дх ~ду' { а ду')’ (7.2.14)
где а, и и k'/a — функции независимых переменных х и
у'. Однако из-за условия несжимаемости произведение
au=ur(y') (7:2.15)
* В преобразовании Мизеса вместо более общей переменной у' используется функция тока 1|з.
143
зависит только от у'-, это можно показать при рассмотрении двух линий тока с координатами y'i и г/'г. Интеграл
представляет собой объем жидкости, заключенной между двумя линиями тока. Поскольку жидкость несжимаема, интеграл (7.2.16)—постоянная величина. Поэтому иа не зависит от х вдоль любой линии тока у', и окончательно уравнение (7.2.14) можно записать в виде
Это уравнение описывает нестационарную задачу теплопроводности, где х — временная переменная, а у' — переменная по координате.
Отсюда задачу конвективного теплообмена неоднородной жидкости можно решить с помощью аналоговой модели одномерной теплопроводности в неоднородной среде, где теплоемкость в единице объема равна сигу' и зависит только от координаты, тогда как теплопроводность k'/a зависит как от времени, так и от координаты. Изложенное выше представляет аналогию теплопроводности.
Вследствие этого вариационные методы, разработанные для теплопроводности, применимы для решения задач конвективного теплообмена в ламинарных и турбулентных течениях.
Вариацйонные методы в сочетании с аналогией теплопроводности дают очень точный и простой метод расчета функции влияния в задачах конвективного теплообмена.
Целью этого параграфа является проиллюстрировать этот метод на очень простом примере.
Рассмотрим однородный ламинарный поток с постоянной скоростью U. Ось х расположена в плоскости границы, а скорость направлена вдоль х. Ось у перпендикулярна границе. Рассматривается
(7.2.16)
(7.2.17)
7.3. ВАРИАЦИОННАЯ ОЦЕНКА ФУНКЦИИ
влияния
144
двумерное йоле течения в плоскости х, у, компоненты скорости которого
u = U, о = 0. (7.3.1)
Начальная температура жидкости принимается равной 0 = 0.
Рассмотрим прямую линию на границе, проходящую через начало координат и перпендикулярную оси х. На этой линии тепло поступает в жидкость со скоростью, равной единице на единицу длины. Через .границу тепловые потоки отсутствуют. В результате имеем распределение температуры вниз по течению вдоль оси х:
0 =/(*). (7.3.2)
Если линия притока тепла расположена на абсциссе |, а не в начале координат, распределение температуры вниз по потоку будет иметь вид:
0 =/¦(;«—I). (7.3.3)
Положив x — s, a § = s', можем записать:
0=r(s—s') ='¦(«, «')• (7-3.4)
Следовательно, r(s—s') представляет частный случай одномерной функции влияния, определяемой выражением i(6.2.9). При этом принимается, что адиабатическая температура жидкости 0а=О. Это однако не ограничивает общности результатов, если справедлив принцип суперпозиции. Поскольку поток является ламинарным, положим:
kf=k. (7.3.5)
Подставив значения и и о из уравнения (7.3.1), получим уравнение (7.2.4) в виде
(50 Й20
cU^ = k~d^’ (7-ЗЛ5)
При этом принимается, что линия притока тепла расположена в начале координат (|=0). Задача состоит в определении функции влияния г(х). Поскольку рассматривается двумерная задача, возьмем слой жидкости единичной толщины, параллельный плоскости ху. Скорость притока тепла в этот слой в начале координат равна единице.
