Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Био М. -> "Вариационные принципы в теории теплообмена " -> 4

Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.

Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена — М.: Энергия , 1975. — 209 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipivteoriiteploobmena1975.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 61 >> Следующая

Для данных значений q{ диссипативная функция зависит от производных по времени б/i- Потребуем, чтобы D было минимальным при изменении векторов qly удовлетворяющих условиям вида
где А — неопределенный множитель Лагранжа. Положив Л=1, из уравнения (1.4.12) легко получить уравнение (1.4.9). Таким образом, принцип минимальной диссипации при условии (1.4.11) определяет скорость изменения тепловой системы в любой момент времени. Это является физическим объяснением уравнений Лагранжа. Заметим, что в механической или электрической аналоговой модели условие (1.4.11) выражает постоянство работы сил, обусловливающих неравновесное состояние.
(1.4.8)
(1.4.9)
виде; тогда получим Н из уравнения (1.4.1) в виде
(1.4.10)
^ ^г<7г= Const. Это приводит к уравнению
(1.4.11)
(1.4.12)
23
Положим также
А
(1.4.5)
Подставив выражения (1.4.4) и (1.4.5) в уравнения
(1.3.7), получим:
(1.4.6)
При наличии п обобщенных координат qt эти уравнения составляют систему п дифференциальных уравнений для неизвестных qi.
Уравнения (1.4.6) имеют такой же вид, как и уравнения Лагранжа в механике, описывающие медленное движение диссипативной системы, когда пренебрегают силами инерции. Функция V-—потенциальная энергия, a D — диссипативная функция. В правой части уравнения Qi — обобщенная внешняя сила, приложенная к системе и определяемая методом виртуальной работы.
По аналогии с механикой в задачах теплопроводности мы будем называть V тепловым потенциалом, a D— диссипативной функцией.
Величины Q представляют собой обобщенные тепловые движущие силы, обусловленные распределением температуры на границе. Поэтому мы будем называть их тепловыми силами по аналогии с механикой. Их можно определить методом виртуальной работы. Это следует из рассмотрения соотношения, полученного из уравнений (1.3.4) и (1.4.5):
i i
= - J] jj 6 nbqtdA = - j j On 5H dA. (1.4.7)
A A
Допустим, что изменяется только одна координата на единицу 6<7i* Тогда правая часть уравнения (1.4.7) представляет собой соответствующую тепловую силу Q,. Используя механическую модель, можно объяснить выражение (1.4.7) как виртуальную работу сил давления— пбН в объеме потока жидкости, поступающего через единицу площади на границе.
Принцип минимальной диссипации. Из частного случая уравнений Лагранжа (1.4.6) сразу становится ясно, что они эквивалентны принципу минимальной диссипации. Это было показано автором в 1955 г. в более общей
22
ностью. Это становится очевидным, если иметь в виду, что мы рассматриваем системы с молекулярной структурой и что в качестве приближения для их описания используем понятие континуума.
Поэтому физически справедливо рассматривать также дискретную систему, состоящую из ряда конечных ячеек. Это ячейки могут быть очень маленькими, оставаясь, однако, достаточно большими с точки зрения молекулярных масштабов, так что законы статистической термодинамики остаются справедливыми для каждой ячейки. Их можно представить себе в виде кубика, к каждой грани которого приложен вектор теплового смещения. Тогда температура ячейки будет определяться величинами этих векторов на каждой грани, подчиняющимися закону сохранения энергии в виде (1.2.2). Определенные таким образом дискретные векторы описывают физическую систему и могут рассматриваться как частный случай обобщенных координат.
1.4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ПРИНЦИП МИНИМАЛЬНОЙ ДИССИПАЦИИ
Интеграл по объему в уравнениях (1.3.7) можно выразить в более простой форме, из которой станет ясным его физический смысл. Поскольку обобщенные координаты qi являются функциями времени, можно записать:
Уравнение (1.4.1) получается после дифференцирования выражения (1.3.1) по времени. Из уравнения
(1.4.1) следует:
Тогда, положив
Н=
(1.4.1)
найдем:
21
где Hi — поле, которое либо является заданной функцией времени, либо не зависит от времени.
Выражения (1.3.3) включают как частный случай ряды Фурье и разложения по ортогональным функциям. Поэтому в дальнейшем будем считать справедливым представление поля Н в виде обобщенных координат. На математическом языке абстрактных пространств это означает, что это представление справедливо везде, за исключением множества точек с нулевой или конечной мерой.
Вариационный принцип (1.2.9) можно сформулировать с помощью обобщенных координат, используемых вместо компонент самого поля. Рассмотрим произвольные вариации бq-i обобщенных координат. Соответст-
вующими вариациями поля являются
ан=?'!>'¦• (1-3'4>
Выражение (1.2.8) для V есть функция qи можно записать:
я'=?|г8'"' (1-3-5>
Учитывая соотношения (1.3.4) и (1.3.5), запишем уравнение (1.2.9) в виде
А
Поскольку вариации 6<7, являются произвольными, из (1.3.6) вытекают соотношения
1 А
Число таких уравнений равно числу обобщенных коор-
динат.
Выбор обобщенных координат для описания физиче-
ской системы. Всегда можно выбрать такое число обоб-
щенных координат и сделать это таким образом, что
система с физической точки зрения будет описана пол-
20
точка зрения не является новой и соответствует понятию, известному в классической механике как принцип виртуальной работы. В механике он формулируется в виде принципа Даламбера. Эти принципы приводят к вариационным уравнениям, аналогичным уравнению (1.2.9). Абстрагируясь, можно утверждать, что в основе этого метода лежит понятие вариационного скалярного произведения. Оно является выражением скалярного произведения в функциональном пространстве. В этом выражении некоторые члены можно преобразовать в величины, представляющие собой вариации инвариантов функционалов, соответствующие традиционным понятиям вариационного исчисления. Остальные члены, которые нельзя выразить таким образом, относятся к другой категории и называются в лагранжевой механике обобщенными силами. Несколько подробнее эти аспекты вариационных методов обсуждаются в приложении (§ А.4), где показано, как их можно перевести на абстрактный язык функционального анализа и теории множеств.
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 61 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed