Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Приложение вариационного анализа к другим областям физикн, а также некоторые общие математические аспекты данного вопроса рассматриваются в приложении.
В гл. 1 при рассмотрении линейной теплопроводности вводится основная форма вариационного принципа, исходя из понятий термодинамического потенциала, диссипативной функции и обобщенной термодинамической силы.
Сохранение энергии играет роль голономной связи. Диссипативная функция, выраженная через производную по времени от вектора теплового смещения, является обобщением понятия, введенного Релеем для механических систем с вязкой диссипацией. Это обобщение тесно связано с принципом взаимности Онзагера в термодинамике необратимых процессов. Полученные уравнения Лагранжа в обобщенных координатах приводят к принципу минимальной диссипации. Возможности и точность метода иллюстрируются на примере простой задачи распространения тепла в стенке с использованием понятия глубины проникновения.
В гл. 2 рассматриваются общие характеристики линейных систем, и выводятся соответствующие линейные уравнения Лагранжа. Физическая модель включает локальное линейное граничное условие теплопереноса, часто используемое на практике в качестве аппроксимации. Это достигается путем введения диссипации на границе в диссипативную функцию, описывающую систему в целом. Одной из важных особенностей линейных систем является наличие релаксационных мод и нормальных координат. Интересной особенностью нормальных координат при рассмотрении процесса теплопроводности является свойство бесконечного вырождения, связанное со стационарным потоком. Использование нормальных координат может привести к «слабым решениям» в смысле функционального анализа, что иллюстрируется на примере решения задачи проникновения тепла в стенку.
Операционная формулировка линейной системы с зависимыми от времени параметрами представлена в гл.З. Общий вид тепловой восприимчивости и полного теплового сопротивления устанавливается на основе неотрицательного и положительно-определенного характера основных квадратичных форм, описывающих систему. Эти результаты определяют реакцию для гармонической временной зависимости; переходные процессы анализируются на основе преобразований Фурье — Лапласа. Получаемые операционные формулы значительно упрощаются сохранением в производной по времени простого оператора, введенного впервые Хевисайдом. Тогда преобразования Лапласа можно выразить через обобщенные функции. По своей природе операционные уравнения приводят непосредственно к вариационным принципам в операторной форме. Эти принципы могут быть выра-
9
Жены по-разному в зависимости от формы представлен ния дифференциального оператора в виде обычной алгебраической или числовой переменной или в виде свертки преобразования Лапласа от произведения во временном интервале. В этой главе также выводится с вариационной точки зрения единое правило взаимосвязи термодинамических систем, обеспечивающее общую основу для формулировки разнообразных методов конечных элементов. Кроме того, здесь на примере иллюстрируется понятие непрерывного спектра релаксации и показывается значение этого понятия в операционных методах.
Метод сопряженных полей, изложенный в гл. 4, может использоваться для определения температурного поля по бездивергентному полю вектора теплового смещения. Бездивергентность соответствует циклическим координатам в классической механике; она может не учитываться, когда необходимо рассчитать только температуру. Показано, что этот метод связан с наличием нормальных координат с бесконечной вырождаемостью. Метод иллюстрируется на примере задачи нагрева тел сложных конфигураций.
Применение вариационных принципов к нелинейным системам с зависимыми от температуры параметрами рассматривается в гл. 5. Обобщение понятия термодинамического потенциала приводит к уравнениям, аналогичным тем, которые были получены для линейных систем. При определенных условиях метод сопряженных полей может использоваться в нелинейных задачах. Рассматриваются также частные нелинейные задачи с нелинейными свойствами. К ним относятся, например, задачи
об излучении и оплавлении поверхностей. На простом примере с помощью численного счета показано различие между нагреванием и охлаждением, вызванное нелинейностью.
В гл. 6 вариационные методы используются для решения линейных и нелинейных задач конвективного переноса тепла. Рассмотрены решения в двух приближениях. В первом приближении рассматривается теплопроводность в неподвижном твердом теле, границы которого находятся в контакте с движущейся жидкостью. Характеристики переноса тепла на границах определяются функцией влияния. Эта функция в свою очередь определяется как распределение температуры на границе, обусловленное подводом к жидкости в данной точке на
10
работе по термодинамике необратимых процессов, включающей теплопроводность как частный случай [Л. 1-4]. Введем величину
Тогда уравнения Лагранжа (1.4.6) примут вид:
Теперь допустим, что Н не содержит времени в явном
а также диссипативную функцию D, являющуюся положительно определенной квадратичной формой в переменных qt. В этом случае уравнения (1.4.9) показывают, что условие Xi = 0 означает qi = 0 и является условием статического равновесия. Поэтому будем называть Х{ силами, определяющими неравновесное состояние.
