Вариационные принципы в теории теплообмена - Био М.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку решается одномерная задача, достаточно рассмотреть цилиндр с единичной площадью поперечного сечения с осью, перпендикулярной стенке. Запишем тепловой потенциал
Тепловое смещение получаем из уравнения (1.2.2), которое в данном случае имеет вид:
dH
* = (1.7.3)
Учитывая условие Н — 0 при x=qu получаем:
я = се.(4г-^+тг-^г)* 0-7.4)
Диссипативная функция имеет вид:
1 Ч' "2
D=~w J^2dX:=_630 k q'q*u (1-7.5)
о
Обобщенную тепловую силу Qt получим из рассмотрения виртуального теплового смещения ЬН = -g- cB^Sqi при х = 0. Из уравнения (1.4.7) можно записать:
(?1б<71 = 0обЯ, (1.7.6)
откуда
QI== —С02 0. (1.7.7)
Уравнение (1.4.6) для неизвестной координаты Лагранжа qi будет иметь вид:
dV , dD
-5S'+ljr-Q'- l,-7'8)
Подставив значения V, D, Qt из уравнений (1.7.2), (1.7.5) и
(1.7.7), получим уравнение первого порядка
13 Ik
315 q'qi = 30 с ’ (1.7.9)
где qi — дифференциал по времени. Для начального условия qi = =0 при ^=0 найдем:
-/. = 3,36 1/ 7-т-/) . (1.7.10)
Первая фаза процесса заканчивается, когда qi становится равным I в момент времени ti
с1г
t, =0,0885—. (1.7.11)
Время перехода определяет промежуток времени, необходимый для распространения тепла по всей толщине I исследуемого материала.
Во второй фазе, соответствующей интервалу времени t>t\, происходит повышение температуры на изолированной границе х=1.
32
В этой фазе процесса температура может быть также представлена с хорошим приближением параболической зависимостью
X
е = (В.-?,) (1-т) +*• (К7Л2)
которая -показана на рис. 1.1 (кривая 2). Обобщенной координатой <7г будет неизвестная температура на границе х = 1. 'Взяв значение О из уравнения (1.7.12), получим тепловой потенциал в виде
j" B2dx—^ [q 02о + [g 9о<72 + [g <722 ^ cl. (1.7.13)
Тепловое смещение Н получается при интегрировании уравнения
(1.7.3) со значением 0 из уравнения (1.7.12) с граничным условием Н — 0 при х: = /. Вычислим диссипативную функцию
I
1 Г . 34 с*13 •
D== 2k \ НЫх = ~Ш> k~q22’ (1.7.14)
О
Обобщенная сила получается из рассмотрения виртуального тепло-
2
вого смещения ЬН = ~чГ lcSq2. Используя уравнение (1.4.7), запишем:
откуда
Q28q2 = f)08H, (1.7.15)
Q2=^-90/c.. (1.7.16)
Подставив (1.7ЛЗ), (1.7.14) и (1.7.16) в уравнение Лагранжа
dV , dD
<L7J7>
получим линейное дифференциальное уравнение для q,'.
<72+4,57^2 = 00, (1.7.18)
где 11 — время перехода (1.7.11). Проинтегрируем уравнение (1.7.18)
для t = tt при начальном значении <у2 = 0
<72 ,
= ! - ехр
Приближенные значения 0/0о, полученные из уравнения (1.7.1) для первой фазы и из уравнения (1.7.12) для второй фазы, приведены на рис. И.2 в зависимости от х/1 для трех значений безразмерного параметра времени t/ti. Штриховыми линиями показаны точные значения, полученные в виде классического разложения Фурье, описанного в работе Карслоу и Егера [Л. 1-6]. Сравнение показывает отличное соответствие результатов.
Простота приближенного решения по сравнению с классическим методом прежде всего объсняется тем, что представление распределения температуры в виде
3-1050 33
h § | !ч 1 V п X
х=0 < 1 x=Z
Рис. 1.1. Распределение температуры 9 для первой (/) и второй '(2) фаз при нагревании пластины, теплоизолированной на границе х=1.
К5Д — -
1
2
J s х/1
Рис. 1.2. Распределение температуры в пластине в различные моменты времени.
----------предлагаемый метод;
---------точное решение.
1 — Ии=4; 2 — tlti-1;
= 0.2.
рядов Фурье не очень удобно и приводит в начальной фазе к плохой сходимости результатов *. Наше решение, в котором две фазы рассматриваются с помощью двух совершенно различных методов, позволяет избежать этого. Можно подобрать эти методы в соответствии с характерными особенностями каждой фазы.
Ряд задач нестационарной теплопроводности, решенных методом, используемым в данной книге, описывается в [Л. 1-3, 1-7—1-11].
Глава вторая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
2.1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы рассмотрим общую теорию тепловых систем, свойства которых не зависят от температуры. Такие физические системы составляют большой класс и могут быть представлены с помощью обобщен-
* Точное решение простейших задач теплопроводности яри граничных условиях первого рода можно представить не только в форме Фурье, но и в форме Лапласа, которая удобна для расчетов при малых значениях чисел Фурье — см. [Л. 1 н18]. (Прим. ред.)
34
ных координат и описаны однотипными линейными уравнениями Лагранжа. Это дает возможность разработать унифицированную теорию таких систем [Л. 2-1, 2-2], что будет показано в § 2.2. В частности, эта формулировка включает часто встречающиеся граничные условия, входящие в диссипативную функцию системы в целом. Линейные уравнения Лагранжа рассматриваются в § 2.3. Они выводятся из двух квадратичных форм, определяющих тепловой потенциал и диссипативную функцию. Особое внимание уделяется свойствам этих форм с точки зрения их положительной определенности, так как они играют существенную роль при нахождении решений дифференциальных уравнений.
При отсутствии обобщенных сил изменение системы во времени может быть представлено модами тепловой релаксации, что показано в § 2.4. Эти моды представляют собой собственные решения, каждое из которых пропорционально экспоненциально убывающей функции времени. Свойство ортогональности релаксационных мод выводится в § 2.5 одновременно с описанием соответствующих координат. Реакция системы в результате воздействия заданных тепловых сил выражается в замкнутом виде с помощью нормальных координат. При изложении материала особое внимание уделено важным частным случаям кратных и нулевых характеристических корней. Показано, что нулевые корни соответствуют стационарному тепловому потоку.
