Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
S = sqol\J 1 — /2//о> (4.31)
где а = =Ь1. Условием касания параболы и эллипса в некоторой точке / = /1 является равенство первых производных в точке касания. Поэтому, приравнивая выражения (4.26) и (4.31) и дифференцируя это равенство по /, получим систему двух уравнений, из решения которой можно найти как положение точки касания Д, так и минимальное значение потерь, определяемое параметром /о = /01:
- §1 = soioV1 - /1//01»
Л <4-з2>
-i— = —a-S'oi ----- =,
2Р> /01VI - Л7/о21
где si определено выражением (4.27), = 1 + /оз.-
Рассмотрим вначале случай минимальных потерь. Тогда Д / 0 и решение системы имеет вид
/01 = 2dip0, /1 = 2dip0^l - s^d^/df. (4.33)
Значение параметра устойчивости s = si в данной точке в соответствии с формулами (4.31)-(4.33), равно
Ы = \soia\J 1 — flfH = s^l d0/di| (4.34)
и, следовательно, динамическая стабильность потерь основной моды
резонатора по отношению к флуктуациям TJI АЭ возможна в резонаторах как устойчивой (|si| < 1), так и неустойчивой конфигураций (|si| > 1). Зная /1, легко определить, используя формулы (4.28),
4-2. Резонаторы с термо оптически возмущенным элементом 209
(4.29), значения р = р[, при которых достигается минимум потерь:
1
р. 2
На практике часто реализуется случай do <С di, 1/ро? тогда
^ i + т ± к- (435а)
Как следует из рис. 4.8, для того чтобы потери основной моды были не слишком велики, необходимо подбирать схему резонатора, у которой dip® 1. При этих условиях выражение для минимального значения потерь 7i, в соответствии с (4.15) и (4.33), имеет вид
Ti = 2/0\ [УГ+1/Ж - l] - 4rfiPo- (4.36)
Из этого выражения следует, что минимальные потери 71 определяются исключительно величиной апертуры ро и оптической длиной более длинного плеча d\ и не зависят ни от величины р, ни от параметров другого плеча резонатора. Формула (4.35) или (4.35а) позволяет, используя (4.20), так подобрать величины pi и р'2, т. е. так подобрать геометрию плечей резонатора, чтобы обеспечить минимум дифракционных потерь и, тем самым, максимальную стабильность выходных параметров излучения резонатора при заданной величине оптической силы TJI АЭ рт>
Если разложить в ряд зависимость 7 (р) в точке р = р'г и ограничиться первым ненулевым членом, то после несложных преобразований можно получить соотношение
7-71 _ (Р- p'i\2 1__________71 (1 - Ti)_____ (Ао7\
71 V ро / 32 (1 — 7i/2)(1 -71 + 7i/2)'
Оно показывает, что при данном уровне потерь 71 чувствительность модовой структуры к флуктуациям TJI АЭ пропорциональна ~ р^2 и, следовательно, ~ П4, где П — характерный размер ограничивающей апертуры. Следовательно, переход к резонаторам с большим радиусом ограничивающей апертуры приводит к резкому увеличению чувствительности резонатора к величине TJI АЭ. Именно поэтому разработка большеапертурных стабильных лазерных систем сопряжена со значительными трудностями. При заданном размере ограничивающей апертуры П переход к динамически стабильным резонаторам с большими потерями 71 —у 1 приводит, как это легко видеть из (4.37), к повышению стабильности характеристик. Можно также показать, что общий размер области малых потерь Api, определяемый условием
— 1 < s < 1, приблизительно равен
ДР1 ~ (4.38)
14 В.П. Быков, О.О. Силичев
210 Гл. 4• Резонаторы твердотельных лазеров
Перейдем теперь к изучению поведения потерь основной моды резонатора вблизи максимума при р = р1. Учитывая, что в данном случае / = 0 и решая систему уравнений (4.32), найдем значение пара-метра /о = fo2-
^ = ?(гг + 4 + 4"»)2-1- <4-39>
Потери в этой точке 72 можно найти по формуле (4.36), если вместо /01 подставить /02. Подчеркнем еще раз, что параметр устойчивости N — |^021 — л/ГТЖ > 1 и, следовательно, резонатор соответствует неустойчивой конфигурации. Величина р, при которой имеет место максимум потерь, определяется выражением (4.30).
Из соотношения (4.39) и рис. 4.8 следует, что, варьируя оптическую длину правого плеча do, можно в широких пределах изменять потери основной моды в резонаторе такого типа. Это обстоятельство, как будет показано далее, является основой алгоритма построения динамически стабильных неустойчивых резонаторов.
Для выяснения характерной «ширины» данного экстремума разложим зависимость 7 (р) в ряд в окрестности точки р = р1. После соответствующих преобразований получим из уравнений (4.14), (4.15),
(4.26)-(4.29) и (4.39):
¦ПЛ = -4(р-pVdodlSo2 ... (4.40)
72 /02К2 -72)/(1 -72)]
Видно, что при фиксированном уровне потерь 72, т. е. при фиксированных значениях параметров /02 и S02 ? чувствительность резонатора к флуктуациям оптической силы TJI АЭ слабо зависит от величины ограничивающей апертуры и целиком определяется оптической длиной плечей резонатора do, d\. Это коренным образом отличает неустойчивый резонатор с динамической стабильностью, расположенный в области / ~ 0 от резонатора, обеспечивающего минимум потерь основной моды / ~ /1 (4.33) и позволяет использовать динамически стабильные неустойчивые резонаторы в большеапертурных лазерных системах.
Наконец, рассмотрим последний случай, когда характер касания параболы и эллипса таков, что происходит слияние экстремумов в точках К, JI, М, т. е. образуется один глобальный минимум в зависимости 7(р). В этом случае, наряду с условиями (4.32), вторые и третьи производные выражений (4.26) и (4.31) должны быть равны:
