Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
R2 R,T R\
с „ А ^
D В
—L/2 О L\ z
Рис. 3.1. Волны в сложном резонаторе с промежуточным зеркалом
170
Гл. 3. Сложные лазерные резонаторы
Итак, пусть в связанных резонаторах (рис. 3.1) распространяются волны
Aeikz, Be~ikz, Ceikz, De~ikz,
при этом зависимость от времени всех этих волн предполагается в виде e~lujt (и = ск). Тогда на первом зеркале имеем условие
RlAeikLl = Be~ikL\ (3.1)
где R\— коэффициент отражения первого зеркала. На среднем зеркале — два условия:
A = RB + TC, D = ТВ + RC,
где R — коэффициент отражения, Т — коэффициент прозрачности среднего зеркала. На втором зеркале имеем условие
R2Deikb2 = Ce~ikL\ (3.2)
где R2 — коэффициент отражения второго зеркала. Исключая из этих соотношений амплитуду В в соответствии с (3.1) и амплитуду С в соответствии с (3.2), приходим к системе
(А( 1 - RxRe2ikL') - DTR2e2ikL* = 0,
{ATRxe2^1 - D( 1 - R2Re2ikL2) =0, ^ )
имеющей нетривиальное решение при равном нулю детерминанте. Это условие приводит к характеристическому уравнению
(1 - RiRe2ikLl)(l - R2Re2ikL2) - T2R1R2e2ik(L^+L2) = 0, (3.4)
определяющему резонансные частоты рассматриваемого сложного резонатора.
Если зеркала поглощают излучение или первое и второе зеркала пропускают его наружу, то энергия, запасенная в резонаторе, со временем уменьшается, т. е. колебания в резонаторе затухают. В этом случае модули R\ и R2 меньше единицы и корни уравнения (3.4) комплексны. Исследование уравнения (3.4) в общем случае достаточно сложно. Однако с практической точки зрения наиболее интересен случай, когда потери малы, т. е. модули R\ и R2 близки к единице. Поэтому вначале исследуем свойства сложного резонатора при R\ = R2 = = — 1. Такой коэффициент отражения соответствует наиболее простому граничному условию на зеркале — обращению в нуль электрического поля на нем. Как уже отмечалось, конкретный вид граничного условия в лазерном резонаторе не очень существенен, поскольку его вариация может лишь немного изменить набег фазы волны на зеркале (0 -г 27г) , в то время как полный набег фазы в резонаторе составляет (104 -г 106)27г. Приведенное выше условие соответствует дополнительному набегу фазы на зеркале, равному 7г.
§3.1. Связанные лазерные резонаторы
171
В отсутствие потерь характеристическое уравнение (3.4) принимает вид
(1 + Re2ikLl)( 1 + Re2ikL2) - T2e2ik(Li+i2) = 0. (3.5)
При бесконечно тонком промежуточном зеркале поля с обеих его сторон должны быть равны, поэтому для коэффициентов Д и Т имеем условие
Т = 1 + Д. (3.6)
Тогда характеристическое уравнение (3.5) приводится к виду
+ + 1 e-ik(L1+L2) _ 1 + 2Д eik(L1+L2) _ q
д д
Если теперь Д и Т представить в виде
Д = — cos ае~га, Т = г sin сте-г<7,
удовлетворяющем соотношению (3.6), то характеристическое уравнение примет вид
cos а • cosfc(Li — L2) = cos[fc(Li + L2) — ст]. (3.7)
Графики обеих частей этого уравнения показаны на рис. 3.2. Их пересечения определяют корни характеристического уравнения, т. е. резонансные частоты системы связанных резонаторов. Такое графическое
Рис. 3.2. Графическое решение характеристического уравнения связанных
резонаторов
решение уравнения (3.7) очень удобно, получаемая с его помощью качественная информация обычно более важна, чем точное решение уравнения (3.7).
Исследование свойств связанных резонаторов с помощью уравнения (3.7) мы начнем со случая отсутствия связи при а — 0 и затем постепенно будем эту связь вводить. В отсутствие связи исследуемая система представляет собой просто два отдельных резонатора, каждый со своими резонансами. При включении даже небольшой связи все резонансы, строго говоря, становятся общими. Их поля при этом
172
Гл. 3. Сложные лазерные резонаторы
оказываются распределенными по всей системе. Однако, как мы увидим далее, большая часть резонансов после включения связи в значительной степени сохраняет свою отнесенность к первому или второму резонатору.
В отсутствие связи (сг = 0) характеристическое уравнение (3.7) приводится к виду
sin kL\ • sin кЬ2 = 0
и имеет решения
in _
ГЪг, -----
(3.8)
представляющие собой две системы эквидистантных резонансных частот, соответственно первого и второго резонаторов. Эти резонансы можно выделить и на рис. 3.2. Для этого достаточно рассмотреть ситуацию, когда длина Ь2 — постоянна, а длина L\ увеличивается. Тогда, согласно (3.8), резонансные частоты первого резонатора уменьшаются, а резонансные частоты второго резонатора постоянны. Обе кривые на рис. 3.2 при увеличении L\ перемещаются влево, причем при изменении L\ на длину волны Л немного, а кривая II— значительно. Нетрудно заметить, что корни, отмеченные цифрой i, смещаются заметно влево, а корни, отмеченные цифрой 2, практически остаются на месте. Ясно, что эти корни относятся, соответственно, к первому и второму резонаторам.
Чтобы лучше прояснить ситуацию, рассмотрим зависимость корней характеристического уравнения от величины 1/Li, изображенную
Рис. 3.3. Зависимость резонансных частот сложного резонатора от 1/Ь\
на рис. 3.3. В отсутствие связи (сг = 0) эти зависимости являются линейными. При этом графики частот первого резонатора наклонны, а графики частот второго резонатора горизонтальны. Следовательно,
