Лазерные резонаторы - Быков В.П.
ISBN 5-9221-0297-4
Скачать (прямая ссылка):
В заключение рассмотрим квадратурный метод решения интегрального уравнения, обеспечивающий высокую точность вычислений при малых числах Френеля. Суть его состоит в том, что подынтегральное выражение в уравнении (2.18) аппроксимируется тем или иным образом, полиномом степени Nq [57, 58]. Для этого уравнение (2.18), путем преобразования переменных, приводят к виду, позволяющему использовать квадратурную формулу того или иного типа.
2.5. Методы решения интегрального уравнения
167
Например, в случае уравнения (2.49), переход к новым переменным х\,2 — 21\ 2 — 1 позволяет преобразовать его к виду:
+1
щщ{х2) = J R(x2,x1)ui{x1)dx1, (2.87)
-1
при котором возможно использование квадратурной формулы Гаусса [57]:
+ 1 No
/ R(x2, xi)Ui(x{) dx\ Ат11(х2,хт)щ(хт). (2.88)
_l m—1
Весовые коэффициенты
A 2
m (l-xmy[P'No(xm)]2
и xm — корни полинома Лежандра Pn0 Nq-to порядка. Таблицы коэффициентов Ат и корни хт, при различных значениях Nq , легко найти в книгах, посвященных методам численного интегрирования [57].
Формула (2.88) переходит в точное выражение в случае, если функция R(x2,x\)ui(xi) — полином степени не выше 2Nq — 1.
Будем искать значение функции Ui(xk) = Vik в узлах квадратурной формулы Xk>
N0
XiVik = ^ AmR(xk,xm)Vim (к = 1,2,..., N0). (2.89)
т=1
Тем самым приходим к системе линейных уравнений относительно значений Vik- Нетривиальное решение этой системы возможно лишь при условии, что
det |\AmR(xk, хш) ЗткЩ|| = 0? (2.90)
откуда находим собственные значения щ. Из системы уравнений (2.89) получаем Vik - Значение функции щ{х) в остальных точках апертуры находим, используя (2.87) и (2.88), по формуле
No
Ui(x2) = ^ ^ AmR(x2 , Xm)Vim .
—'
т=1
Этот метод весьма эффективен в случае, когда подынтегральная функция уравнения (2.18) R(x2,xi)ui(xi) не слишком сильно осциллирует и хорошо аппроксимируется полиномом не очень высокой степени. Поэтому его целесообразно применять в случаях небольших чисел Френеля и для нахождения мод низшего порядка. В этой области
168
Гл. 2. Метод интегрального уравнения
он столь эффективен, что при N < 1, позволяет рассчитать достаточно точно потери основной моды уже при Nq = 2 [58]. Таким образом в этой области значений чисел Френеля мы имеем фактически аналитический метод расчета резонатора.
Рассмотренные методы, естественно, не исчерпывают всего многообразия способов решения интегральных уравнений, встречающихся в теории резонаторов. В частности, при решении уравнений в декартовых координатах методом итераций, часто удобно преобразовать интегральный оператор к виду, позволяющему использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье [59]. Это приводит к существенной экономии времени вычисления на ЭВМ отдельной итерации. При решении задачи в цилиндрических координатах для этой цели можно использовать алгоритм преобразования Ханкеля [60].
Поиск собственных чисел матриц большого размера, возникающих при решении интегрального уравнения методом моментов (2.84) или методом квадратур (2.90), возможно использование либо алгоритмов диагонализации матриц [61], либо метода Прони [62]. Последний позволяет находить несколько первых, наибольших по абсолютной величине, собственных значений.
По-видимому, стоит отметить также метод, который, в определенной степени, объединяет метод итераций и метод Прони и в котором проводится фурье-анализ преобразования (2.79) [63].
Приступая к расчету резонатора, в каждом конкретном случае следует внимательно изучить особенности задачи и с их учетом выбрать численный метод решения. Часто удачный выбор метода позволяет построить решение с минимальным использованием ЭВМ.
Г JI cl В cl 3
СЛОЖНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
§3.1. Связанные лазерные резонаторы
Третья глава посвящена описанию свойств резонаторов, содержащих различные дополнительные оптические элементы (промежуточные зеркала, дифракционные решетки, эталоны и др.), которые влияют на частотный спектр резонатора, позволяя, в частности, производить селекцию его продольных мод. Частотный спектр резонатора и соответствующего лазера являются их важнейшими характеристиками. Во многих случаях исследователи стремятся к одномодовой одночастотной генерации. Одним из возможных путей к этому как раз и является использование сложных резонаторов.
Сначала излагается теория связанных резонаторов и описываются методы селекции мод, основанные на этой теории. Приводятся характеристики наиболее распространенных частотных селекторов. Далее обсуждаются вопросы согласования поперечных мод отдельных резонаторов. В заключение даются физические основы теории сложного перестраиваемого резонатора, используемого в лазерах на красителях и в лазерах с другими активными средами, обладающими большим усилением.
Связанные лазерные резонаторы образуются в тех случаях, когда в резонаторе помимо основных, составляющих его зеркал, имеются дополнительные или промежуточные поверхности, частично отражающие и частично пропускающие излучение, так что резонатор распадается на два или большее число отдельных резонаторов, связанных друг с другом. Такие дополнительные поверхности могут вводиться в резонатор специально — так часто поступают для разрежения продольного спектра — но могут возникать и естественным образом, например, в твердотельных лазерах из-за наличия у активных элементов отражающих торцов. Во всяком случае свойства связанных резонаторов интересны и важны. Мы обсудим эти свойства на простом примере резонатора, образованного тремя зеркалами (рис. 3.1), пренебрегая поперечной структурой поля; необходимые уточнения, касающиеся поперечной структуры будут даны в § 3.
